Полнота исчисления предикатов

Переименование переменных

В этом разделе мы попытаемся аккуратно разобраться с простым вопросом о том, почему и как можно переименовывать связанные переменные, не меняя смысла формул. Мы уже видели, что формулы и доказуемо эквивалентны , то есть их эквивалентность доказуема в исчислении предикатов. Сейчас мы хотим доказать общее утверждение об этом.

Корректная формулировка утверждения о переименовании переменных требует осторожности. Например, нельзя сказать, что формула всегда эквивалентна . Прежде всего, подстановка может быть некорректной, как в случае формул

(легко понять, что эти формулы не эквивалентны). Но даже если подстановка корректна, формулы могут не быть эквивалентными, как в случае формул Как же сформулировать утверждение правильно?

Нагляднее всего, видимо, сделать так. Давайте заключим в рамку все связанные вхождения всех переменных (в том числе вхождения после кванторов). После этого соединим линиями переменную после квантора и все ее вхождения, связанные именно этим вхождением квантора. Свободные вхождения переменных остаются при этом без рамок. Получится что-то вроде

Если после этого стереть переменные внутри рамок, получится схема формулы, которая содержит всю существенную информацию о ней. Будем называть две формулы подобными (отличающимися лишь именами связанных переменных), если они имеют одну и ту же схему.

Теорема 52. (переименование связанных переменных) Подобные формулы доказуемо эквивалентны.

Докажем две простые леммы.

Лемма 1. Если формула не содержит переменной (ни связанно, ни свободно), то формулы

доказуемо эквивалентны.

Доказательство. В самом деле, подстановка корректна, так как в нет кванторов по . Поэтому выводима формула

Левая часть ее не содержит переменной , поэтому по правилу Бернайса можно вывести

В обратную сторону: подстановка вместо в формулу корректна (поскольку была подставлена вместо свободных вхождений , при обратной подстановке переменная не попадет в область действия кванторов по ней) и дает формулу . Поэтому формула

или, что то же самое, является аксиомой. Осталось применить правило Бернайса, заметив, что в левую часть переменная свободно не входит (все свободные вхождения были заменены на ). Лемма 1 доказана.

Аналогичное утверждение для квантора существования доказывается точно так же.

Лемма 2. Замена подформулы на доказуемо эквивалентную дает доказуемо эквивалентную формулу.

Доказательство. Как мы видели, доказуемая эквивалентность сохраняется после навешивания квантора: если , то и (символ здесь обозначает доказуемую эквивалентность). Кроме того, из и следует, что , , и . (В этом легко убедиться, написав подходящие пропозициональные тавтологии.)

Теперь утверждение леммы легко доказать индукцией (начав с замененной подформулы и рассматривая все более длинные части формулы). Лемма 2 доказана.

Леммы 1 и 2 позволяют нам заменять переменные внутри рамок схемы на новые (ранее не использованные) переменные, получая доказуемо эквивалентную и подобную исходной формулу. Такими заменами можно из двух подобных формул получить третью, используя для замены одни и те же переменные. При этом обе исходные формулы доказуемо эквивалентны третьей, а значит, и друг другу.

(Использование третьей формулы существенно: мы не можем преобразовать первую формулу сразу во вторую, так как при замене переменных в рамках может не выполняться условие леммы 1.)

Аккуратное обращение со связанными и свободными переменными — традиционная головная боль авторов учебников по логике. Наиболее радикальный подход — вообще изгнать связанные переменные, заменив их квадратиками со связями между ними. Тогда при подстановке можно ни о чем не заботиться. Зато формулы перестают быть последовательностями символов, а становятся объектами со сложной структурой. (Этот подход использован в книге Бурбаки Теория множеств [3].)

Менее радикальный вариант состоит в том, чтобы разделить переменные на два типа — свободные и связанные. Так делается, например, в классической книге Гильберта и Бернайса Основания математики [8]. Тогда можно смело подставлять терм вместо свободной переменной, зато при навешивании квантора надо заменять свободную переменную на связанную.

Еще один вариант — договориться, что при подстановке терма вместо свободной переменных автоматически происходит переименование связанных переменных, создающих коллизии.

Все это, конечно, мелочи — но досадные, особенно если стремиться к краткости, ясности и наглядности. Следы мучительных раздумий на подобные темы видны в примечании книги Клини Математическая логика [16]: " Гильберт и Бернайс и другие авторы используют для обозначения свободных и связанных переменных разные буквы Мы следовали этому правилу в течение десятилетия Сейчас же мы твердо убеждены, что использование единого списка переменных для свободных и замкнутых вхождений дает небольшое, но чувствительное преимущество".

С этим связан и другой выбор: как определять истинность формул. Тут есть две возможности: можно определять истинность формулы на оценке (при данных значениях параметров), а можно говорить только о замкнутых формулах, вводя константы для всех элементов интерпретации. И тот, и другой способы имеют недостатки, а выбор нами первого подхода — результат не единодушия авторов, а волевого решения.