НОУ ИНТУИТ | Языки и исчисления. Лекция 5: Языки первого порядка

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Определим понятие терма данной сигнатуры. Термом называется последовательность переменных, запятых, скобок и символов сигнатуры, которую можно построить по следующим правилам:

Индивидная переменная есть терм.
Функциональный символ валентности есть терм.
Если $t_1,\dots,t_k$ — термы, а — функциональный символ валентности , то $f(t_1,\dots,t_k)$ есть терм.

В принципе можно было не выделять функциональные символы валентности (которые также называют константами) в отдельную группу, но тогда бы после них пришлось писать скобки (как это делается в программах на языке Си).

Если — предикатный символ валентности , а $t_1,\dots,t_k$ — термы, то выражение $A(t_1,\dots,t_k)$ считается атомарной формулой. Кроме того, любой предикатный символ валентности считается атомарной формулой.

Формулы строятся по таким правилам:

Атомарная формула есть формула.
Если $\varphi$ — формула, то $\lnot\varphi$ — формула.
Если $\varphi$ и $\psi$ — формулы, то выражения $(\varphi \land\psi)$ , $(\varphi\hm\lor\psi)$ , $(\varphi\to\psi)$ также являются формулами.
Если $\varphi$ есть формула, а $\xi$ — индивидная переменная, то выражения $\forall \xi \,\varphi$ и $\exists \xi\,\varphi$ являются формулами.

Во многих случаях в сигнатуру входит двуместный предикатный символ , называемый равенством. По традиции вместо =(t_1,t_2) пишут (t_1=t_2) .

Итак, понятие формулы в данной сигнатуре полностью определено. Иногда такие формулы называют формулами первого порядка данной сигнатуры, или формулами языка первого порядка с данной сигнатурой.

Наш следующий шаг — определение интерпретации данной сигнатуры. Пусть фиксирована некоторая сигнатура $\sigma$ . Чтобы задать интерпретацию сигнатуры $\sigma$ , необходимо:

указать некоторое непустое множество , называемое носителем интерпретации;
для каждого предикатного символа сигнатуры $\sigma$ указать предикат с соответствующим числом аргументов, определенный на множестве (как мы уже говорили, -местным предикатным символам ставится в соответствие либо И, либо Л );
для каждого функционального символа сигнатуры $\sigma$ указать функцию соответствующего числа аргументов с аргументами и значениями из (в частности, для -местных функциональных символов надо указать элемент множества , с ними сопоставляемый).

Если сигнатура включает в себя символ равенства, то среди ее интерпретаций выделяют нормальные интерпретации, в которых символ равенства интерпретируется как совпадение элементов множества .

Приведем несколько примеров сигнатур, используемых в различных теориях.

Сигнатура теории упорядоченных множеств включает в себя два двуместных предикатных символа (равенство и порядок) и не имеет функциональных символов. Здесь также вместо $\le(x,y)$ по традиции пишут $x \le y$ .

Аксиомы порядка (рефлексивность, антисимметричность, транзитивность) могут быть записаны формулами этой сигнатуры. Например, требование антисимметричности записывается так:

$\forall x\,\forall y (((x\le y)\land (y\le x))\to(x=y)).$

Иногда в сигнатуру теории упорядоченных множеств вместо символа $\le$ включают символ ; большой разницы тут нет.

39. Как записать с помощью формулы свойство линейной упорядоченности? свойство не иметь наибольшего элемента? свойство плотности (отсутствия соседних элементов)? свойство фундированности (отсутствия бесконечных убывающих последовательностей — или, что эквивалентно, наличия минимального элемента в любом подмножестве)? свойство полной упорядоченности? (Указание: не для всех перечисленных свойств это возможно.)

Сигнатуру теории групп можно выбирать по-разному. Можно считать, что (помимо равенства) она имеет двуместный функциональный символ $\times$ (который по традиции записывают между множителями), константу (нульместный функциональный символ) и одноместный функциональный символ $\inv(x)$ для обращения. Тогда аксиомы теории групп записываются с использованием лишь кванторов всеобщности:

$\begin{align*} &\forall x\,\forall y\,\forall z (((x\times y)\times z)=(x\times(y\times z))),\\ &\forall x\, (((x\times 1)= x)\land((1\times x)=x)),\\ &\forall x\, (((x\times inv(x))= 1)\land((inv(x)\times x)=1)). \end{align*}$

Если не включать операцию обращения в сигнатуру, придется использовать квантор существования и переписать последнюю аксиому так:

$\forall x\, \exists y\,((( x\times y)= 1)\land((y\times x)=1)).$

40. Как записать аксиомы теории групп, если в сигнатуре нет константы ? (Указание: аксиома о существовании обратного станет частью аксиомы о существовании единицы.)

41. Как записать в виде формулы требование коммутативности группы? утверждение о том, что любой элемент (кроме единицы) имеет порядок ? конечность группы? (Указание: не все из перечисленного можно записать, хотя пока у нас нет средств это установить.)

Сигнатура теории множеств содержит два двуместных предикатных символа: для принадлежности и для равенства. Аксиомы теории множеств можно записывать в виде формул этой сигнатуры. Чаще всего рассматривают вариант аксиоматической теории множеств, называемый теорией Цермело-Френкеля и обозначаемый ZF. Приведем для примера одну из аксиом теории ZF, называемую аксиомой объемности, или экстенсиональности:

$\begin\forall x\,\forall y\,((\forall z\,((z\in x)\to(z\in y))\land \forall z\,((z\in y)\to(z\in x))) \to\\ {}\to(x=y)). \end$

42. Сформулировать словесно эту аксиому.

43. Записать в виде формулы аксиому регулярности, или фундирования, которая говорит, что у всякого множества есть минимальный (с точки зрения отношения $\in$ ) элемент, то есть элемент, не пересекающийся с самим множеством.

44. Какова естественная сигнатура для теории полей? Можно ли записать в виде формулы этой сигнатуры утверждение о том, что поле имеет характеристику ? конечную характеристику? алгебраически замкнуто?

Дальше >>

Языки и исчисления

Языки первого порядка

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Языки и исчисления

Языки первого порядка

Вопросы и ответы

Студенты