НОУ ИНТУИТ | Введение в линейную алгебру. Лекция 5: Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный способ

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.10.2007 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 45 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Если в системе (4.2) свободные члены равны нулю, то есть b1 = b2 = b3 = 0, то систему

$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = 0 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = 0 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = 0 \end{aligned} \right.$

( 4.8)

называют однородной. Тогда систему (4.8), в которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю, называют неоднородной. Очевидно, что для однородной системы (4.8) $\Delta _{х} = 0; \Delta _{y} = 0; \Delta _{z} = 0$ и равенства (4.4) и (4.6) примут вид:

$\Delta \cdot x=0; \; \Delta \cdot y =0; \; \Delta \cdot z = 0.$

( 4.9)

Если $\Delta \ne 0$ , то из (4.9) следует, что система (4.8) имеет единственное решение х = 0; y = 0; z = 0. Отсюда следует вывод, что чтобы однородная система (4.8) имела непрерывное решение, необходимо, чтобы $\Delta = 0$ . Действительно, если в тройке (х, y, z), например, $х \ne 0$ , то из равенства $\Delta х = 0$ следует, что $\Delta = 0$ .

Справедливо и обратное утверждение, т.е. если $\Delta = 0$ , то система (4.8) обязательно имеет ненулевое решение (причем бесчисленное множество).

Пусть в системе (4.8) первые два уравнения независимы, а третье является линейной комбинацией первых двух. Тогда система (4.8) равносильна следующей системе двух уравнений с тремя неизвестными

$\left\{ \begin{aligned} &a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=0 \\ &a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=0 \end{aligned}. \right.$

( 4.10)

Пусть для (10)

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \ne 0,$

тогда систему (8) можно записать в виде

$\left\{ \begin{aligned} &a_{11}x+a_{12}y=-a_{13}z \\ &a_{21}x+a_{22}y=-a_{23}z \end{aligned} \right.$

и решить по правилу Крамера, что дает

$x=\frac{ \begin{vmatrix} -a_{13}z & a_{12} \\ -a_{23}z & a_{22} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} } = \frac{ \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} } \cdot z; \; y= \frac{ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} } \cdot (-z).$

Полагая

$z=K\cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},$

получим решение системы (10) в виде:

$x=K\cdot \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} ; \; y=-K \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} ; \; z=K\cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}.$

( 4.11)

Пример 5. Решить систему

$\left\{ \begin{aligned} &2x+3y+5z=0 \\ &4x+2y-6z=0 \end{aligned}. \right.$

Решение. Так как

$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} =-8 \ne 0$

, то, применяя формулы (11), найдем

$x=K\cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} =-28K; \; y=-K \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & -6 \end{vmatrix} =32K; \; z=K\cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} =-8K,$

то есть множество решений будет E={(-28K; 32K; -8K)}

или, вынося общий множитель 4 E={(-7K; 8K; -2K)}.

Замечание. Определители в формулах (4.11) легко запомнить как получить: матрице из коэффициентов системы (4.10)

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$

поочередно вычеркивать столбцы коэффициентов при x, y, z, что будет давать соответствующие определители для x, y, z, причем при y надо брать знак минус.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру

Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный способ

Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Вопросы и ответы