Другие доказательства теоремы Эрроу

Доказательство теоремы 6.1 получилось довольно громоздким и техническим. Конечно, на самом деле это идейное доказательство: мы постепенно получали все более и более сильные свойства определяющих наборов, пока не выяснили, что на самом деле среди них есть одноэлементные множества.

Но можно предложить и другие идейные доказательства, например [7]. В этом параграфе, основанном на работе [21], мы рассмотрим три альтернативных (и достаточно коротких) доказательства теоремы Эрроу. Надеемся, их идеи окажутся достаточно различными, чтобы оправдать такой подход. %Рекомендуем читателю по мере разбора этих доказательств по крайней мере отмечать, %где в каждом из них используется, что альтернатив по меньшей мере три.

Первое доказательство теоремы 6.1. Это доказательство тоже будет проведено в несколько шагов, но на этот раз шаги куда быстрее приведут к цели. Правда, по сравнению с исходным доказательством они могут показаться менее очевидными. Основным для доказательства здесь станет доказательство существования ключевого агента (pivotal agent): агента, который может изменением своего решения изменить результат функции социального выбора.

1. Если в некотором профиле \[ (\succeq_1,\ldots,\succeq_N) \] некий исход \[ x\in\mathcal O \] для каждого агента \[ i \] находится на самом верху или в самом низу (то есть \[ \forall i \] \[ \forall y\in O y\succeq_i x \] или \[ \forall y\in O x\succeq_i y \] ), то в результате ранжирования функция социального выбора также должна поместить \[ x \] на одну крайних позиций.

   Доказательство очень простое. Предположим, что это не так, то есть \[ y\succ_f x\succ_f z \] для некоторых \[ y\neq x \] , \[ z\neq x \] . Поскольку \[ x \] у каждого находится в одной из крайних позиций, мы можем, не нарушая никаких индивидуальных предпочтений, переместить в предпочтениях каждого агента \[ z \] над \[ y \] (проверьте, что это возможно!). Тогда по транзитивности \[ y\succ_f z \] , но единогласное решение агентов гласит, что \[ z\succ y \] . Противоречие.
2. Для каждого из исходов \[ x\in\mathcal O \] существует такой ключевой агент \[ i^*=i(x) \] , что для некоторого профиля предпочтений, в котором \[ x \] обладает вышеописанным свойством, он может переместить \[ x \] снизу вверх в результате функции социального выбора, изменив только свой профиль.

   Пусть каждый агент поставит \[ x \] в самый низ. По анонимности, \[ x \] должен занимать последнюю позицию. Теперь пусть агенты по одному перемещают \[ x \] с самого низа на самый верх. Рано или поздно \[ x \] переместится и, по пункту \[ 1 \] , \[ x \] переместится сразу на самую верхнюю позицию. Вот последний перед этим профиль предпочтений и соответствующего агента мы и выберем.
3. Агент \[ i^*=i(x) \] является диктатором для каждой пары исходов \[ y,z\in\mathcal O \] , не включающей в себя \[ x. \]

   Выберем элемент \[ y \] — один из этой пары — и рассмотрим профиль из пункта \[ 2 \] , для которого агент \[ i^* \] может переместить \[ x \] снизу вверх. Пусть теперь \[ i^* \] изменит свой профиль, переместив \[ y \] на самый верх: \[ y\succ_{i^*} x\succ_{i^*} z \] . Рассмотрим всевозможные профили других агентов, в которых \[ y \] и \[ z \] меняются местами произвольно, но \[ x \] остается на своих крайних позициях. По свойству попарной независимости, результат на этих профилях должен быть \[ y\succ_f x \] , потому что относительные позиции \[ y \] и \[ x \] такие же, как в том профиле, когда \[ x \] у \[ i^* \] был в самом низу, и в результате \[ x \] тоже был в самом низу. Аналогично, в результате должно быть \[ x\succ_{f} z \] . Соответственно, по транзитивности должно быть \[ y\succ_f z \] . Но эта конструкция не зависела от относительного расположения \[ y \] и \[ z \] у других агентов! Иными словами, \[ y\succ_f z \] тогда и только тогда, когда \[ y\succ_{i^*}z \] .
4. Агент \[ i^* \] является диктатором для любой пары исходов \[ x,y\in\mathcal O. \]

   Рассмотрим третью возможность \[ z \] , не входящую в эту пару. Для нее должен быть какой-нибудь диктатор \[ j^* \] . Он должен быть диктатором для каждой пары, не содержащей \[ z \] , например для \[ x,y \] . Но \[ i^* \] может изменить судьбу пары \[ x,y \] , потому что он может при определенных обстоятельствах переместить \[ x \] с самого низа на самый верх. Значит, \[ j^* \] и \[ i^* \] — одно лицо.

Второе доказательство теоремы 6.1. Второе доказательство (как, собственно, и третье) тоже будет строить агента-диктатора. Но делать это мы будем уже другим способом. Давайте рассмотрим парадокс Кондорсе и впишем его в профили агентов. Обозначим возможные исходы в алфавитном порядке через \[ \mathcal O=\{x,y,\ldots, z\} \] . Все агенты в так называемых профилях Кондорсе будут иметь профили одного из \[ |\mathcal O| \] типов: \[ \theta_x,\theta_y,\ldots,\theta_z \] . Предпочтения этих типов будут выглядеть так:

\[ \begin{array}{rcccccccc} \theta_x: & x & \succ & y & \succ & \ldots & \ldots & \succ & z,\\ \theta_y: & y & \succ & z & \succ & \ldots & \ldots & \succ & x,\\ \vdots & \vdots & & \vdots & & & & & \vdots \\ \theta_z: & z & \succ & x & \succ & y & \succ & \ldots & \ldots.\\ \end{array} \]

То есть это просто упорядоченная в алфавитном порядке последовательность исходов, сдвинутая циклически так, чтобы в профиле типа \[ \theta_\alpha \] исход \[ \alpha \] оказался бы на первом месте.

Если все агенты имеют тип \[ \theta_x \] , то, по принципу единогласия, \[ x\succ_f y\succ_f z \] . Рассмотрим все возможные векторы профилей агентов и выберем из них тот, где число агентов типа \[ \theta_x \] минимально, но результат все равно имеет тип \[ \theta_x \] . Обозначим этот профиль через \[ \pi_x \] . Хотя бы один агент \[ i^* \] , имеющий тип \[ \theta_x \] , должен существовать в \[ \pi_x \] , т. к. если никто из агентов не этого типа, то по принципу единогласия \[ z\succ_f x \] .

Теперь докажем, что \[ i^* \] может в профиле \[ \pi_x \] творить вообще все что хочет. Предположим, что исход \[ \beta \] следует по алфавиту сразу за исходом \[ \alpha \] , и в профиле \[ \pi_x \] агент \[ i^* \] меняет свой тип на \[ \theta_\beta \] , и в результате получается профиль Кондорсе \[ \pi_\beta \] . По свойству попарной независимости, все равно в новом профиле \[ x\succ_f \alpha \] и \[ \beta\succ_f z \] . Значит, чтобы порядок изменился (а он должен измениться, ведь мы взяли минимальное возможное число агентов типа \[ \theta_x \] ), нужно, чтобы в результате было верно \[ \beta \succeq_f \alpha \] (а если \[ \beta=_f\alpha \] , то по транзитивности должно быть \[ x\succ_f z \] ).

Пусть \[ i^* \] изменит свой профиль на \[ -\theta_x \] , то есть на профиль вида

\[ z\succ \ldots \succ y \succ x. \]

Получится уже не профиль Кондорсе \[ \pi_{-x} \] . Рассмотрим любые два исхода \[ \alpha,\beta \] , идущие друг за другом по алфавиту. Тогда \[ \theta_\beta \] и \[ \theta_{-\alpha} \] совпадают на паре \[ \{\beta,\alpha\} \] (в обоих \[ \beta\succ\alpha \] ) и на паре \[ \{x,z\} \] (в обоих \[ z\succ x \] ). Значит, по независимости, на профиле \[ \pi_{-x} \] \[ \beta\succeq_f \alpha \] , потому что так было в профиле \[ \pi_x \] . Но поскольку \[ \alpha \] и \[ \beta \] произвольные, то, значит, в профиле \[ \pi_{-x} \]

\[ z\succeq_f\ldots\succeq_f x. \]

Более того, если бы было верно, что \[ \alpha=_f\beta \] в профиле \[ \pi_{-x} \] , то они были бы равны и в профиле \[ \pi_x \] , и, значит, было бы верно, что \[ x\succ_f z \] в профиле \[ \pi_\beta \] , а значит, и в профиле \[ \pi_{-x} \] , что приводит к противоречию. Значит, все неравенства строгие:

\[ z\succ_f y\succ_f\ldots\succ_f x. \]

Теперь покажем, что \[ i^* \] — диктатор в каждом профиле, не только в \[ \pi_x \] . Предположим, что в некотором профиле \[ \pi \] агент \[ i^* \] является диктатором, то есть при условии, что предпочтения остальных соответствуют профилю \[ \pi \] , агент \[ i^* \] может добиться любого желаемого решения. Мы это про агента \[ i^* \] уже доказали для профиля \[ \pi_x \] . Изменим тогда \[ \pi \] на \[ \pi^\prime \] , позволив ровно одному агенту \[ i\neq i^* \] поднять ровно одну альтернативу на полшага выше: либо разрешить ничью между \[ \alpha \] и \[ \beta \] , либо ее создать, но не то и другое вместе, и других альтернатив менять тоже не позволим. Предположим, что для \[ i^* \] \[ \alpha\succ_{i^*} \gamma\succ_{i^*} \beta \] в профиле \[ \pi \] . Тогда, значит, и в результате профиля \[ \pi \] \[ \alpha\succ_f\gamma\succ_f\beta \] (ведь \[ i^* \] там диктатор). Следовательно, и в \[ \pi^\prime \] \[ \alpha\succ_f \gamma \] и \[ \gamma\succ_f\beta \] , а это значит, что по транзитивности \[ \alpha\succ_f\beta \] .

А по принципу единогласия это значит, что те полшага, которые сделал агент \[ i \] в профиле \[ \pi^\prime \] , ничего для \[ f \] изменить не смогли: в \[ \pi^\prime \] агент \[ i^* \] является таким же диктатором, каким был и в профиле \[ \pi \] . Но это значит, что \[ i^* \] — диктатор везде, ведь из любого профиля в любой другой можно придти последовательностью таких шажков (проверьте!).

Итак, второе доказательство использовало специальный вид профилей предпочтений агентов — обобщение парадокса Кондорсе. Третье, самое короткое, будет весьма интересным — мы докажем лемму о том, как должны соотноситься между собой разные предпочтения.

Лемма 6.1. (о строгой нейтральности) Рассмотрим две пары альтернатив \[ (x,y) \] и \[ (\alpha,\beta) \] . Предположим, что предпочтения каждого агента на этих парах совпадают, и все такие предпочтения являются строгими. Тогда предпочтения на выходе функции социального выбора на этих парах тоже будут совпадать и тоже будут строгими. Это выполняется для каждой функции социального выбора.

Доказательство. Если пары \[ (x,y) \] и \[ (\alpha, \beta) \] идентичны, то утверждение очевидно. Рассмотрим случай, когда они не совпадают. Предположим без потери общности, что \[ x\ge y \] . Переместим \[ \alpha \] (если оно не равно \[ x \] ) в позицию непосредственно сверху \[ x \] для каждого агента, а \[ \beta \] — в позицию непосредственно снизу \[ y \] для каждого агента (если, конечно, \[ \beta\neq y \] ). Поскольку все предпочтения строгие, это можно сделать, не нарушив относительного расположения пар \[ (x,y) \] и \[ (\alpha,\beta) \] :

\[ \begin{array}{cc} \alpha & y\\ x & \beta \\ y & \alpha \\ \beta & x\\ \end{array} \]

Тогда, по принципу единогласия, \[ \alpha \succ x \] и \[ y\succ\beta \] , если они не равны. По транзитивности, \[ \alpha > \beta \] . Теперь мы можем поменять \[ (x,y) \] и \[ (\alpha,\beta) \] местами и в итоге получить, по свойству попарной независимости, что \[ x\succ_f y \] в исходном профиле. Вот и все, лемма доказана.

Третье доказательство теоремы 6.1. Третье доказательство, опирающееся на лемму 6.1, будет совсем коротким. Рассмотрим два исхода \[ x\neq y \] и начнем с \[ y\succ_i x \] для всех \[ i \] .i Пусть теперь, начиная с \[ i=1 \] , каждый агент по очереди перемещает \[ x \] наверх \[ y \] . По единогласию и лемме 6.1, будет существовать агент \[ i^* \] , при изменении предпочтения которого \[ x \] перемещается наверх относительно \[ y \] и после применения функции социального выбора. Докажем, что \[ i^* \] — диктатор. Рассмотрим произвольную пару исходов \[ (\alpha,\beta) \] , для которой \[ \alpha\succ_{i^*}\beta \] . Пусть ранжирование этой пары у других агентов будет совершенно произвольным.

Рассмотрим теперь третий исход \[ z\notin\{\alpha,\beta\} \] и переместим \[ z \] выше всех остальных исходов для агентов от \[ 1 \] до \[ i^*-1 \] , ниже всех остальных для агентов от \[ i^*+1 \] до \[ N \] , а для самого \[ i^* \] поместим \[ z \] между \[ \alpha \] и \[ \beta \] : \[ \alpha\succ_{i^*} z\succ_{i^*}\beta \] . Тогда, по попарной независимости и лемме 6.1, в предпочтениях социальной функции \[ \alpha\succ_f z \] и \[ z\succ_f \beta \] , а это значит, по транзитивности, что \[ \alpha\succ_f\beta \] . Следовательно, \[ i^* \] оказался диктатором.