НОУ ИНТУИТ | MATHCAD 14: Основные сервисы и технологии. Лекция 5: Элементы математической статистики

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.04.2013 | Уровень: для всех | Доступ: свободно | ВУЗ: Уральский государственный экономический университет

Вам нравится? Нравится 80 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

5.3. Построение функции распределения и плотности распределения

Нормальное распределение

Функция плотности нормального распределения вероятности случайной величины имеет вид

$P(x,m,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp{(\frac{-1}{2\sigma^2}(x-m)^2)}$

( 5.3)

где m среднее, $\sigma$ - среднеквадратичное отклонение. Тогда функция нормального распределения будет:

$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int\limits_{-\infty}^x{(\frac{-1}{2\sigma^2}(t-m)^2)dt}$

( 5.4)

Пример 5.3

Для СВ, распределенной по нормальному закону построим функцию распределения вероятности , функцию плотности распределения вероятности и графики.

В MathCAD функции распределения находятся в категории Probaility distribution, функции плотности распределения находятся в категории Probability density. Используем функцию pnorm() и dnorm().

Функция $pnorm (x, m, \sigma).$ – рассчитывает в точке x значение функции распределения вероятности для нормального закона со средним m и среднеквадратичным отклонением $\sigma$ .

Функция $dnorm (n, m, \sigma).$ – рассчитывает в точке x значение функции плотности распределения вероятности для нормального закона со средним m и среднеквадратичным отклонением $\sigma$ .

На листинге (Рис.5.3, Рис.5.4) созданы два вектора СВ с нормальным распределением и разными параметрами m и $\sigma$ : NR и NR1. В векторе NR (и NR1) каждое число имеет нормальное распределение с средним m и среднеквадратичным отклонением $\sigma$ .

Построены две функции распределения: FN(x) - для 1 элемента вектора NR_k и FN1(x) - для 1 элемента вектора NR_k . Показаны график функций распределения FN(x) и FN1(x).

m:=1600 , $\sigma:=100$

m1:=500 , $\sigma1:=100$

$NR:=rnorm(1000,m,\sigma)$ , $NR1:=rnorm(1000,m1,\sigma1)$

$FN(x):=pnorm[NR_1(x),m,\sigma]$ , $FN1(x):=pnorm[NR1_1(x),m,\sigma]$

Рис. 5.3. Листинг решения примера 5.3. Функции распределения FN(x) и FN1(x) для нормального закона и их графики

$DN(x):=dnorm[NR_1(x),m,\sigma]$ , $DN1(x):=pnorm[NR1_1(x),m,\sigma]$

Рис. 5.4. Листинг решения примера 5.3. Функции плотности распределения DN(x) и DN1(x) для нормального закона и их графики

5.4. Построение гистограммы распределения случайной величины

Гистограммой называется график, аппроксимирующий по случайным данным плотность их распределения. При построении гистограммы область значений случайной величины (а,b) разбивается на некоторое количество n сегментов, а затем подсчитывается процент попадания данных в каждый сегмент. Для построения гистограмм в MathCAD имеется несколько встроенных функций. Рассмотрим две функции

Функция hist (int, x) – возвращает вектор частоты попадания случайной величины х в интервалы, определяемые вектором сегментов int на отрезке (a.b), сегменты находятся в порядке возрастания a<int<b.

Функция - histogram (bin, х) – возвращает двумерную матрицу на отрезке (a.b), 1 столбец которой содержит середины разбиения отрезка на bin сегментов , 2 столбец - вектор частоты попадания случайной величины х.

На примере экспоненциального распределения случайной величины с параметром $\lambda=20$ продемонстрируем технологию построения гистограммы распределения.

Экспоненциальное или показательное распределение

Непрерывная случайная величина х, принимающая неотрицательные значения в полубесконечном интервале $(0, \infty)$ , имеет экспоненциальное распределение, если плотность распределения имеет вид:

$F(x)=\lambda\epsilon^{\lambda x}$

( 5.5)

Функция распределения в этом случае имеет вид:

$F(x)=1-\epsilon^{\lambda x}$

( 5.6)

где $\lambda >0$ — положительная постоянная, параметр экспоненциального распределения.

Числовые характеристики экспоненциального распределения определяются по следующим формулам:

Математическое ожидание $M(x)=1/\lambda$ дисперсия $D(x)=1/\lambda^2$ , среднеквадратичное отклонение $\sigma(x)=1/\lambda$

Пример 5.4

Построим гистограмму распределения для случайной величины с экспоненциальным распределением. Рассмотрим два способа построения.

1 способ. Гистограмма с произвольными сегментами разбиения

Сначала генерируем совокупность СВ, распределенных по экспоненциальному закону с параметром $\lambda=20$ . С помощью функции $rexp(n, \lambda)$ . построим массив R из n=1000 случайных величин. Область изменения R лежит в пределах от a=min(R) до b=max(R). Для построения гистограммы используем функцию hist (int, x) для 50 интервалов int=50. Листинг расчета, где получены вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы GR и вектор сегментов int, показан на pис.5.5. MathCAD создает GR и int в виде векторов и представляет в виде таблиц, где 1 столбец номер элементов, 2 столбец значения GR и int, соответственно. Графики построены на плоскости для индексной переменной и в виде для матрицы в де гистограммы и пространственной кривой.

ORIGIN:=1

r:=10 , R:=rexp(1000,r)

$R=\begin{array}{|c|c|} \hline & 1 \\ \hline 20 & 0.069 \\ \hline 21 & 0.036 \\ \hline 22 & 0.141 \\ \hline 23 & ... \\ \hline \end{array}$

nint:=50

j:=1..nint

a:=min(R) , b:=max(R)

$a=1.014\times 10^{-5}$ , b=0.994

$nint_j:=a+\frac{(b-a)}{nint}j$ , GR:=hist(int,R)

$GR=\begin{array}{|c|c|} \hline & 1 \\ \hline 1 & 160 \\ \hline 2 & 131 \\ \hline 3 & 116 \\ \hline 4 & ... \\ \hline \end{array}$

$int=\begin{array}{|c|c|} \hline & 1 \\ \hline 27 & 0.537 \\ \hline 28 & 0.557 \\ \hline 29 & 0.577 \\ \hline 30 & ... \\ \hline \end{array}$

Листинг решения примера 5.4. 1 способ построения гистограммы. Матрица гистограммы GR, матрица интервалов int. Гистграмма на плоскости и в трехмерном пространстве.

увеличить изображение
Рис. 5.5. Листинг решения примера 5.4. 1 способ построения гистограммы. Матрица гистограммы GR, матрица интервалов int. Гистграмма на плоскости и в трехмерном пространстве.

2 способ. Построение матрицы гистограммы

Для построения гистограммы массива R из 1000 СВ используем функцию histogram(bin, х). Область изменения R [a, b] также разобьем на 50 интервалов. MathCAD создает двумерную матрицу GR1, 1 столбец которой содержит середины разбиения отрезка (a, b) на bin=50 сегментов, 2 столбец - вектор частоты попадания случайной величины R. Рис.5.6 представляет матрицу гистограммы GR1 и ее графики. На плоскости график от индексной переменной: - по оси OX первый столбец матрицы, по оси OY – второй столбец матрицы. В пространстве график от матрицы в виде гистограммы и поверхности.

GR1=histogram(int,R)

$GR=\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 1 & 2 \\ \hline 14 & 0.269 & 14 \\ \hline 15 & 0.288 & 6 \\ \hline 16 & 0.308 & 14 \\ \hline 17 & 0.328 & 9 \\ \hline 18 & 0.348 & 3\\ \hline 19 & 0.368 & 6 \\ \hline 20 & 0.388 & 5 \\ \hline 21 & 0.408 & 1 \\ \hline 22 & 0.428 & 3 \\ \hline 23 & 0.448 & 3 \\ \hline 24 & 0.467 & 0 \\ \hline 25 & 0.487 & 0 \\ \hline 26 & 0.507 & 1 \\ \hline 27 & 0.527 & 0 \\ \hline 28 & 0.547 & 1 \\ \hline 29 & 0.567 & 1 \\ \hline 30 & 0.587 & ... \\ \hline \end{array}$

Листинг решения примера 5.4. 2 способ построения гистограммы. Матрица гистограммы GR1. Гистграммы на плоскости и в трехмерном пространстве

увеличить изображение
Рис. 5.6. Листинг решения примера 5.4. 2 способ построения гистограммы. Матрица гистограммы GR1. Гистграммы на плоскости и в трехмерном пространстве

Основные итоги

В лекции представлены методы работы со случайными величинами. Рассмотрены функции всех категорий: Random numbers, pnorm. dnorm $\sigma$ ;). Statistics. Probaility distribution, Probability density, с помощью которых можно генерировать случайные последовательности с заданным распределением, рассчитывать вероятности, находить статистические характеристики, строить гистограммы распределений. На примерах показано построение графиков случайных величин в виде одномерной функции индексной переменной и в виде совокупности точек поверхности.

Задания для самостоятельного выполнения

Генерировать вектор из 5000 случайных чисел, распределенных по равномерному закону на отрезке [a,b]: a=5 b=40. Показать графическое представление точек случайной величины. Рассчитать статистические характеристики.
1. Для сгенерированного вектора построить функцию распределения и плотность распределения. Показать графики и матрицы распределений.
2. Построить гистограмму распределения для сгенерированной матрицы. Показать графики и матрицы.
Сгенерировать последовательность из 1000 случайных чисел, распределенных по заданному закону. Построить гистограмму. Рассчитать характеристики распределения: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, медиану. Варианты законов распределения:
- Нормальный закон распределения , математическое ожидание 3, среднеквадратичное отклонение 1,5.
- Закон Пуассона, среднее 10.
- Логнормальный закон, среднее 5, отклонение 2.
- Гамма-распределение $\alpha= 2$ .
- Нормальный закон распределения , матожидание 5, отклонение 1.
- Гамма-распределение (функция rgamma категории random numbers), $\alpha= 1$ .
- Закон Пуассона, среднее 3.
- Бета-распределение, $\alpha = 2, \beta = 8$

Ключевые термины

случайная величина - величина, которая в результате опыта может принять только одно из множества значений, до опыта, неизвестно, какое именно.

функция распределения – вероятность P для случайной величины X выполнения неравенства X < х, где х – одно их возможных значений СВ, F(x) = P( X < x ), F(x) - функция аргумента х.

плотность распределения вероятности – для непрерывной случайной величины X первая производная от функции распределения F(x): f(x)=F'(x) .

Random number () – категория функций для генерации последовательности случайных величин.

Statistics () - категория функций для расчёта числовых характеристик случайных величин.

Probaility distribution - категория функций для построения распределения вероятности случайных величин.

Probability density - категория функций для построения распределения плотности вероятности случайных величин.

hist () – функция вычисления частотного распределения случайной величины для построения гистограммы с произвольными сегментами разбиения.

histogram() – функция вычисления частотного распределения случайной величины для построения гистограммы с разбиением на равные сегменты.

Дальше >>

MATHCAD 14: Основные сервисы и технологии

Элементы математической статистики