Следствия из аксиом линейного пространства

1. В каждом линейном пространстве нулевой вектор только один.

Доказательство первого следствия из аксиом проведем от противного. Предположим, что в пространстве имеются два нулевых элемента: 0₁ и 0₂. Тогда по аксиоме 3 линейного пространства имеем: 0₂ + 0₁ = 0₂ и 0₁ + 0₂ = 0₁. Однако по аксиоме 1 0₁ + 0₂ = 0₂ + 0₁ => 0₁ = 0₂.

2. Для любого вектора х существует только один противоположный вектор.

Доказательство опять проведем от противного. Предположим, что у элемента х имеются два противоположных элемента у и z. Тогда по аксиоме 4 имеем два равенства^{2Знак \[ \wedge \] обозначает логическую "И"; знак \[ \Rightarrow \] обозначает "следовательно".}: \[ x + y = 0\wedge x + z = 0 \Rightarrow x + y + z = (x+y) + z = 0 + z = z \wedge x + y + z = y + (x + z) = y + 0 = y \Rightarrow z = y \] .

3. Произведение любого вектора х на число 0 равно нулевому вектору или нуль-вектору.

Доказательство. Действительно, для любого х по аксиоме 7 имеем 0х = (0 + 0)х = 0х + 0х. Но если прибавим к обеим частям последнего равенства (-0х), то получим 0х - 0х = 0х + 0х - 0х, откуда после приведения подобных имеем 0 = 0х, что и требовалось доказать.

4. Произведение нуль-вектора на любое число \[ \alpha \] равно нуль-вектору.

Докажем это следствие, используя шестую аксиому из аксиом линейного пространства и свойство 3 : \[ \alpha 0 = \alpha (0х) = (\alpha 0)х = 0х = 0 \] .

5. Произведение любого вектора х на -1 равно вектору, противоположному х, т.е. (-1)х = -х.

На основании аксиом 5 и 6 проведем доказательство следствия: х+(-1)х = (1)х + (-1)х = (1-1)х = 0х = 0.

6. В линейном пространстве определено действие вычитание. Именно вектор х называется разностью векторов b и а, если х + а = b, и обозначается x = b - a.

Можно доказать, что для любых векторов а и b существует разность и причем только единственная.