Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Если в системе (4.2) свободные члены равны нулю, то есть b1 = b2 = b3 = 0, то систему \[ \left\{ \begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = 0 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = 0 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = 0 \end{aligned} \right. \] называют однородной. Тогда систему (4.8), в которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю, называют неоднородной. Очевидно, что для однородной системы (4.8) \[ \Delta _{х} = 0; \Delta _{y} = 0; \Delta _{z} = 0 \] и равенства (4.4) и (4.6) примут вид: \[ \Delta \cdot x=0; \; \Delta \cdot y =0; \; \Delta \cdot z = 0. \]

Если \[ \Delta \ne 0 \] , то из (4.9) следует, что система (4.8) имеет единственное решение х = 0; y = 0; z = 0. Отсюда следует вывод, что чтобы однородная система (4.8) имела непрерывное решение, необходимо, чтобы \[ \Delta = 0 \] . Действительно, если в тройке (х, y, z), например, \[ х \ne 0 \] , то из равенства \[ \Delta х = 0 \] следует, что \[ \Delta = 0 \] .

Справедливо и обратное утверждение, т.е. если \[ \Delta = 0 \] , то система (4.8) обязательно имеет ненулевое решение (причем бесчисленное множество).

Пусть в системе (4.8) первые два уравнения независимы, а третье является линейной комбинацией первых двух. Тогда система (4.8) равносильна следующей системе двух уравнений с тремя неизвестными \[ \left\{ \begin{aligned} &a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=0 \\ &a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=0 \end{aligned}. \right. \]

Пусть для (10) \[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \ne 0, \] тогда систему (8) можно записать в виде \[ \left\{ \begin{aligned} &a_{11}x+a_{12}y=-a_{13}z \\ &a_{21}x+a_{22}y=-a_{23}z \end{aligned} \right. \] и решить по правилу Крамера, что дает \[ x=\frac{ \begin{vmatrix} -a_{13}z & a_{12} \\ -a_{23}z & a_{22} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} } = \frac{ \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} } \cdot z; \; y= \frac{ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} } \cdot (-z). \]

Полагая \[ z=K\cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \] получим решение системы (10) в виде: \[ x=K\cdot \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} ; \; y=-K \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} ; \; z=K\cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}. \]

Пример 5. Решить систему \[ \left\{ \begin{aligned} &2x+3y+5z=0 \\ &4x+2y-6z=0 \end{aligned}. \right. \]

Решение. Так как \[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} =-8 \ne 0 \] , то, применяя формулы (11), найдем \[ x=K\cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} =-28K; \; y=-K \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & -6 \end{vmatrix} =32K; \; z=K\cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} =-8K, \] то есть множество решений будет E={(-28K; 32K; -8K)}

или, вынося общий множитель 4 E={(-7K; 8K; -2K)}.

Замечание. Определители в формулах (4.11) легко запомнить как получить: матрице из коэффициентов системы (4.10) \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \] поочередно вычеркивать столбцы коэффициентов при x, y, z, что будет давать соответствующие определители для x, y, z, причем при y надо брать знак минус.