Опубликован: 10.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Лекция 5:
Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли. Обратная матрица
Нахождение обратной матрицы A
Пусть дана квадратная матрица 
такая, что 
.
Первый способ. A-1=B=(bij), 
(к сожалению, требуется вычислить n2 определителей Aji размера 
).
Второй способ. Найдем матрицу 
такую, что AX=E (тогда, по следствию 8.7.4, XA=E, X=A-1 ). Это равносильно нахождению таких столбцов 
, что
(столбцы единичной матрицы). Так как , то элементарными преобразованиями строк 1-го, 2-го и 3-го типов мы можем матрицу A привести к единичной матрице E. Применяя эти преобразования одновременно к n нашим системам, получаем
Замечания 8.8.1.
-
Можно предложить другое обоснование этого алгоритма. Найдутся элементарные матрицы Ti 1-го, 2-го или 3-го типа такие, что
, т. е. TA=E для 
и, следовательно, T=A-1. Но тогда B=TE=T=A-1.Отсюда следует также, что группа
порождается элементарными матрицами 1-го, 2-го и 3-го типа. - Этот алгоритм можно применять и для выяснения, существует ли обратная матрица, так как если определитель |A| равен 0, то мы не сможем привести элементарными преобразованиями матрицу A к E (ступенчатый вид матрицы A будет треугольной матрицей с хотя бы одним нулем на диагонали). Это означает, что можно не вычислять определитель матрицы A перед применением алгоритма.
Пример 8.8.2.
Пример 8.8.3. Найти обратную матрицу для матрицы
Решение
![\begin{align*} & \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
5 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
3 & 3 & 8 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right) \to
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
5 & 2 & 0 & 1 & \phm 0 & 0\\
2 & 1 & 1 & 0 & \phm 1 & 0\\
1 & 2 & 7 & 0 & -1 & 1
\end{array}
\right) \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 7 & 0 & -1 & 1\\
2 & 1 & 1 & 0 & \phm 1 & 0\\
5 & 2 & 0 & 1 & \phm 0 & 0
\end{array}
\right) \to{}
%\\
%& \quad {}\to
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & \phm 2 & \phm 7 & 0 & -1 & \phm 1\\
0 & -3 & -13 & 0 & \phm 3 & -2\\
0 & -8 & -35 & 1 & \phm 5 & -5
\end{array}
\right) \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & \phm 2 & \phm 7 & 0 & -1 & \phm 1\\
0 & -3 & -13 & 0 & \phm 3 & -2\\
0 & \phm 1 & \phm 4 & 1 & -4 & \phm 1
\end{array}
\right) \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & \phm 2 & \phm 7 & 0 & -1 & \phm 1\\
0 & \phm 1 & \phm 4 & 1 & -4 & \phm 1\\
0 & -3 & -13 & 0 & \phm 3 & -2
\end{array}
\right) \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & \phm 7 & 0 & -1 & 1\\
0 & 1 & \phm 4 & 1 & -4 & 1\\
0 & 0 & -1 & 3 & -9 & 1
\end{array}
\right) \to{}
%\\
%& \quad {}\to
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 7 & \phm 0 & -1 & \phm 1\\
0 & 1 & 4 & \phm 1 & -4 & \phm 1\\
0 & 0 & 1 & -3 & \phm 9 & -1
\end{array}
\right) \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 0 & \phm 21 & -64 & \phm 8\\
0 & 1 & 0 & \phm 13 & -40 & \phm 5\\
0 & 0 & 1 & -3 & \phm 9 & -1
\end{array}
\right) \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -5 & \phm 16 & -2\\
0 & 1 & 0 & \phm 13 & -40 & \phm 5\\
0 & 0 & 1 & -3 & \phm 9 & -1
\end{array}
\right).
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/eec6c37b44e8d882b729686652766635.png)
Замечания о матричных уравнениях AX = B (случай Y A = B сводится к этому, A*Y* = B*)
Случай 1. 
, . Тогда существует обратная матрица A-1, и поэтому существует единственное решение X=A-1B уравнения AX=B (для уравнения YA=B существует единственное решение Y=BA-1 ). При этом можно отдельно не вычислять матрицу A-1, а применять наш алгоритм, приписывая к матрице A матрицу B, 
, и приводя элементарными преобразованиями строк к 
.
Пример 8.8.4. Пусть
Решение
Общий случай матричного уравнения AX=B, 
, 
, 
, равносилен рассмотрению r систем линейных уравнений с матрицей A и столбцами 
в качестве столбцов свободных членов. Приведение матрицы A к ступенчатому виду A,
.Замечание 8.8.5. Вычисление матрицы Y=BA-1 можно провести, используя элементарные преобразования столбцов:
