НОУ ИНТУИТ | Алгебра матриц и линейные пространства. Лекция 1: Определители и их свойства

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 63 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Вывод следствий из свойств 1-4

Нам удобно следующие далее свойства выводить из "базовых" свойств 1 4.

Свойство 5. Если A_i=(0,...,0), то |A|=0.

Так как $A_i=0\cdot A_i$ , то $|A|=0\cdot |A|=0$ .

Свойство 6. Пусть K= R (или K - любое поле).Если $i\neq j$ и A_i=A_j, то |A|=0.

Сначала приведем доказательство для случая K= R (или для поля K, $\text{char} K \neq 2 :$ из 2a=0 следует a=0 ). Действительно, переставляя строки A_i и A_j, получаем |A|=-|A|, 2|A|=0, и поэтому |A|=0.
Приведем общее доказательство в случае любого поля K при $n \geq 2$ . Пусть i<j. Для каждой подстановки $\alpha$ , участвующей в выражении определителя
$\sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(1)}... a_{i\alpha(i)}... a_{j\alpha(j)}... a_{n\alpha(n)},$
рассмотрим подстановку
$\alpha'= \begin{pmatrix} 1 & ... & i & ... & j & ... & n\\ \alpha(1) & ... & \alpha(j) & ... & \alpha(i) & ... & \alpha(n) \end{pmatrix} = (\alpha(i) \alpha(j)) \alpha,$
полученную из $\alpha$ переменой местами чисел $\alpha(i)$ и $\alpha(j)$ в нижней строке канонической записи. Ясно, что $\varepsilon(\alpha')=-\varepsilon(\alpha)$ . Так как A_i=A_j, то a_ik=a_jk для k=1,...,n, $a_{i\alpha(j)}=a_{j\alpha(j)}$ , $a_{j\alpha(i)}=a_{i\alpha(i)}$ . Поэтому
$\varepsilon(\alpha)a_{1\alpha(1)}... a_{n\alpha(n)}= -\varepsilon(\alpha')a_{1\alpha'(1)}... a_{n\alpha'(n)}.$

Если $\tau=(\alpha(i) \alpha(j))\in S_n$ , то $\tau^2 = 1$ и отношение $\alpha\sim\beta$ для $\alpha,\beta\in S_n$ , где $\alpha\sim\beta$ означает, что $\alpha=\beta$ или $\alpha=\tau\beta$ , является отношением эквивалентности. Действительно,

$\begin{alignat*}{2} &\text{а)} && \alpha\sim\alpha;\\ &\text{б)} && \alpha\sim\beta \Longrightarrow \beta\sim\alpha\\ \intertext{(если \alpha=\beta, \text { это очевидно; } если\ \alpha=\tau\beta, то\ \beta=\tau\alpha,\text{ так как } \tau^2=1);} &\text{в)} && \alpha\sim\beta,\ \beta\sim\gamma \Longrightarrow \alpha\sim\gamma \end{alignat*}$

(имеем четыре случая

$\alpha=\beta$ , $\beta=\gamma$ , поэтому $\alpha=\gamma$ ;
$\alpha=\tau\beta$ , $\beta=\gamma$ , поэтому $\alpha=\tau\gamma$ ;
$\alpha=\beta$ , $\beta=\tau\gamma$ , поэтому $\alpha=\tau\gamma$ ;
$\alpha=\tau\beta$ , $\beta=\tau\gamma$ , поэтому $\alpha=\tau^2\gamma=\gamma$ ; и поэтому $\alpha\sim\gamma$ ).

Таким образом, разбиение на классы эквивалентных элементов приводит к разбиению на непересекающиеся классы $\{\alpha,\ \alpha'=\tau\alpha\}$ . При $n \geq 2$ сумма n! четного числа слагаемых разбивается на суммы пар слагаемых по подстановке $\alpha$ и по подстановке $\alpha'$ , равные нулю, поскольку эти два слагаемые отличаются знаком.

Свойство 7. Если от квадратной матрицы A переходим к матрице A' с помощью элементарного преобразования 1-го типа A'_i=A_i+cA_j, $i\neq j$ , $c\in K$ , то |A'|=|A|.

Действительно, разлагая определитель |A'| в сумму двух определителей (по i -й строке), мы получаем |A| и нулевой определитель, в котором после вынесения из i -й строки числа c имеем две одинаковые строки ( A_j на месте i -й строки и A_j на своем j -м месте).

Линейная комбинация строк в линейном пространстве строк K^n

Если

$a_1=(a_{11},...,a_{1n}),..., a_r=(a_{r1},...,a_{rn})\in K^n$

и

$k_1,...,k_r\in K,$

то можно образовать линейную комбинацию строк

$\sum_{i=1}^r k_ia_i=k_1a_1+...+k_ra_r= \biggl(\,\sum_{i=1}^r k_ia_{i1},...,\sum_{i=1}^r k_ia_{in}\biggr) \in K^n,$

здесь на j -м месте стоит элемент

$\sum_{i=1}^{r} k_i a_{ij}.$

Свойство 8. Если найдется строка A_i, являющаяся линейной комбинацией остальных строк квадратной матрицы A, то |A|=0.

Действительно, если

$A_i=\sum_{\substack{l=1\\l\neq i}}^{n} k_l A_l,$

то, разлагая определитель |A| в сумму (n-1) определителей и вынося в каждом из слагаемых-определителей из l -й строки число k_l, получаем определители с двумя одинаковыми строчками (на месте i -й строки стоит строка A_j, на месте j -й строки стоит строка A_j ).

Определение 6.5.1. Если A=(a_ij) - квадратная $(n\times n)$ -матрица, то $(n\times n)$ -матрица A^*=(b_ij), b_ij=a_ji, называется матрицей, полученной транспонированием из матрицы A (т. е. симметрией относительно диагонали).

Теорема 6.5.2. |A^*|=|A| (определитель квадратной матрицы не меняется при транспонировании).

Доказательство. Каждый член $a_{1\alpha(1)}...a_{n\alpha(n)}$ определителя

$|A|=\sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha)a_{1\alpha(1)}... a_{n\alpha(n)}$

входит в определитель |A^*| транспонированной матрицы A^*, при этом со знаком, определяемым подстановкой

$\alpha'= \begin{pmatrix} \alpha(1) & ... & \alpha(n)\\ 1 & ... & n \end{pmatrix}.$

Так как $\varepsilon(\alpha)=\varepsilon(\alpha')$ , то в итоге мы имеем |A^*|=|A|.

Следствие 6.5.3. Свойства 1-8 выполняются и для столбцов определителя |A| квадратной $(n\times n)$ -матрицы A.

Действительно, при переходе от матрицы A к транспонированной матрице A^* строки превращаются в столбцы, а столбцы - в строки. Преобразования строк транспонированной матрицы A^* соответствуют преобразованиям столбцов матрицы A.

Дальше >>

Авторизоваться

Алгебра матриц и линейные пространства

Определители и их свойства

Вывод следствий из свойств 1-4

Линейная комбинация строк в линейном пространстве строк K^n

Вопросы и ответы