Некоторые определения теории графов

Удаление ребер, мосты

При удалении ребра из графа получается граф с теми же вершинами, что и граф , и всеми ребрами, кроме ребра . При удалении ребра из связного графа новый граф может оказаться как связным, так и несвязным. Ребро называется мостом графа , если в графе, полученном после удаления из ребра , вершины и оказываются несвязными. Существует несколько признаков мостов. Известно, что признак какого-то объекта может заменить его определение, то есть по признаку можно распознать объект. Рассмотрим признаки мостов.

1. Ребро является мостом в том и только в том случае, если — единственный путь, соединяющий вершины и .
2. Ребро является мостом в том и только в том случае, если найдутся две вершины и , такие, что каждый путь, соединяющий их, содержит и .
3. Ребро является мостом в том и только в том случае, если оно не принадлежит ни одному циклу.

Докажем справедливость третьего признака.

Прямая теорема. Если ребро не принадлежит ни одному циклу, то — мост.

Так как ребро не принадлежит ни одному циклу, при его удалении не останется пути, связывающего и , то есть является мостом.

Обратная теорема. Если ребро — мост, то не принадлежит ни одному циклу.

Если бы ребро принадлежало циклу, то при удалении ребра остался бы второй путь, связывающий и , то есть ребро не было бы мостом. Следовательно, не принадлежит циклу.