Задачи для самостоятельного решения

При решении задач, приведенных ниже, необходимо выяснить, является ли индуктивной заданная функция \[ f \] . В случае ее индуктивности следует предъявить отображение \[ G \] , иначе нужно построить индуктивное расширение \[ F \] исходной функции и предъявить \[ G \] для него. В последнем случае нужно также указать отображение \[ \pi \] и исследовать построенное расширение на минимальность (минимальность не является обязательным условием). Завершить решение следует написанием программы, реализующей однопроходный алгоритм, с указанием соответствия между программными переменными и обозначениями, использованными в теоретической части решения. Необходимо объяснить, как в программе реализуется вычисление \[ f \] или \[ F \] на пустой (или ее заменяющей) цепочке, как именно реализовано перевычисление функции при удлинении цепочки и как находится \[ \pi(F(\omega)) \] в случае использования индуктивного расширения.

Задача 9.5. Напишите программу, определяющую количество минимальных элементов в последовательности неположительных целых чисел.

Указание В данном случае для доопределения индуктивного расширения на пустой цепочке нет необходимости использовать величины Integer.MIN_VALUE или Integer.MAX_VALUE.

Задача 9.6. Напишите программу, определяющую значение в целой точке \[ t \] многочлена, заданного последовательностью его целых коэффициентов (в порядке возрастания степеней).

Задача 9.7. Напишите программу, определяющую значение в целой точке \[ t \] производной многочлена, заданного последовательностью его целых коэффициентов (в порядке убывания степеней).

Указание Продифференцировав по \[ x \] равенство \[ P_n(x) = x \cdot P_{n-1}(x) + a_n \] и подставив затем \[ x=t \] , получите соотношения \[ P'_0(t) = 0 \] и \[ P'_n(t) = t \cdot P'_{n-1}(t) + P_{n-1}(t) \] , которые помогут построить индуктивное расширение исходной функции.

Задача 9.8. Напишите программу, определяющую правильность формулы над алфавитом из четырех символов \[ X=\{(,),t,+\} \] . Формула считается правильной, если она может быть получена с помощью следующей НФБН: \[ e \rightarrow t \mid (e + e) \] .

Указание Рассмотрите следующее индуктивное расширение \[ F=(f_1, f_2, f_3) \] функции \[ f \] , где \[ f_1\colon X^* \rightarrow \{T,F\} \] , \[ f_2\colon X^* \rightarrow \mathbb{Z}_M \] , \[ f_3\colon X^* \rightarrow X \] , определены следующим образом:

\[ f_1(\omega) = \omega \] может быть продолжена до правильной формулы,

\[ $f_2(\omega) \] = разность числа левых и правых скобок в \[ \omega \] ,

\[ $f_3(\omega) = \] последний элемент \[ \omega \] .

Задача 9.9. Напишите программу, определяющую номер \[ f \] последнего элемента, равного \[ x_0 \] , в последовательности целых чисел. В том случае, если число \[ x_0 \] в последовательности не встречается, положите \[ f=0 \] .