Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3991 / 731 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 9:

Проективная размерность подпространств и проективная геометрия. Теорема о ранге матрицы

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >

Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений

Как мы отметили ранее, совокупность решений Xодн однородной системы линейных уравнений с матрицей A=(a_{ij}) \in \mM_{m,n}(K) является линейным пространством, подпространством в Kn.

Теорема 9.17.1. Если r=r(A)<n, то \dim X_{\textup{одн}}=n-r (т. е. размерность пространства решений равна числу свободных неизвестных). (Если r(A)=n, то система линейных уравнений имеет лишь нулевое решение.)

Доказательство. Для удобства записи переупорядочим неизвестные, если это необходимо, так, чтобы

\underset{\text{ r главных неизвестных}}{x_1,...,x_r} \quad \text{и}\quad \underset{\text{ n-r свободных неизвестных}}{x_{r+1},...,x_n}.
Пусть E=E_{n-r}\in M_{n-r}(K) - единичная матрица размера (n-r)\times (n-r). Возьмем ее строки в качестве наборов значений для свободных неизвестных и дополним их (единственно возможным способом) до решений нашей системы линейных уравнений
\begin{align*} & \alpha_1 = (c_{11}, ..., c_{1r}, 1,0,...,0),\\
& \quad \vdots\\ & \alpha_{n-r} =
(c_{(n-r)1},...,c_{(n-r)r},0,0,...,1).
\end{align*}
Эта система n-r строк-решений линейно независима (поскольку строки единичной матрицы, конечно, линейно независимы). Если
\beta=(\beta_1,...,\beta_{n-r},\beta_{n-r+1},...,\beta_n)\in X_{\textup{одн}}\text{  -}
произвольное решение, то
\gamma=\beta-\beta_{n-r+1}\alpha_1-...-\beta_n\alpha_{n-r}= (\gamma_1,...,\gamma_{n-r},0,...,0)\!\in\! X_{\textup{одн}}.
Однако, конечно,
(0,...,0,0,...,0)\in X_{\textup{одн}},
при этом \gamma и нулевое решение имеют одинаковый набор значений для свободных неизвестных. Так как значения главных неизвестных однозначно определяются по свободным, то \gamma=0, следовательно,
\beta=\beta_{n-r+1}\alpha_1+...+\beta_n\alpha_{n-r}.
Итак, мы построили базис \{\alpha_1,...,\alpha_{n-r}\} линейного пространства решений Xодн , поэтому \dim X_{\textup{одн}}=n-r.

Замечание 9.17.2. Если вместо строк единичной матрицы En-r для свободных неизвестных брать строки всевозможных матриц C\in\GL_{n-r}(K) (т. е. C\in M_{n}(K), |C|\neq 0 ), то этот алгоритм позволяет построить все базисы в Xодн .

Замечание 9.17.2. Любой базис линейного пространства решений Xодн однородной системы линейных уравнений называется в ряде алгебраических текстов " фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений ".

Задание любого подпространства в _K V = K^n как пространства решений однородной системы линейных уравнений

Пусть K - поле, u_1,...,u_m\in {}_K V=K^n, U=\langle u_1,...,u_m\rangle - подпространство в Kn, являющееся линейной оболочкой строк u1,...,um, т. е. множеством всех линейных комбинаций строк u1,...,um. Мы найдем такую матрицу A\in M_{s,n}(K), что множество решений однородной системы линейных уравнений

A
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}
совпадает с U.

Если U - нулевое подпространство, то в качестве A мы можем взять любую матрицу n\times n с ненулевым определителем (например, A=E ). Если U=Kn (это эквивалентно тому, что \dim U=n ), то в качестве A мы можем взять нулевую матрицу из Ms,n, s \geq 1. Если же 1 \leq \dim U = r(u_1,...,u_m)<n, то пусть ui=(ui1,ui2,...,uin), 1 \leq i \leq m, u_{ij}\in K.

Рассмотрим матрицу B\in M_{m,n}(K), B=(bij), bij=uij, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n, и однородную систему линейных уравнений

\begin{equation}\label{stelo}
B
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}
=
\left.
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}
\right\}{\scriptstyle m}.
\end{equation} ( 9.2)
Ясно, что r=r(B)=\dim U, поэтому 1 \leq r < n. Размерность s пространства решений X_одн этой системы равна n-r, и так как 1 \leq r<n, то 1 \leq s<n.

Пусть строки v_1,...,v_s\in K^n образуют фундаментальную систему решений системы (9.2), vi=(vi1,...,vin), 1 \leq i \leq s, v_{ij}\in K. Пусть A\in \mM_{s,n}(K), A=(aij), aij=vij, 1 \leq i \leq s, 1 \leq j \leq n. Покажем, что A - искомая матрица.

Действительно, по построению матрицы A любая строка из U (как линейная комбинация строк u1,...,um ) является решением однородной системы уравнений

\begin{equation}\label{dusteloj}
A
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix},
\end{equation} ( 9.3)
т. е. U\subseteq X_{\textup{одн}}. С другой стороны,
\dim X_{\textup{одн}} = n-r(A) = n-s = n-(n-r) = r = \dim U.
Следовательно, U=Xодн.

В заключение отметим, что матрица A определена неоднозначно. Например, другая матрица A' может быть получена с помощью другой фундаментальной системы решений системы (9.2).

Полученное задание линейных подпространств оказывается полезным при решении ряда практических задач. Например, пусть u_1,...,u_m\in R^n - линейно независимые строки, m<n. Требуется найти такие строки um+1,...,un, что {u1,...,un} - базис линейного пространства Rn. Как и выше, пусть v1,...,vs - какая-нибудь фундаментальная система решений системы (9.2) (в нашем случае r(B)=m, s=n-m ). Положим um+1=v1,...,un=vn-m. Покажем, что {u1,...,un} - базис в Rn. Достаточно показать, что строки u1,...,un линейно независимы над R. Пусть \alpha_1,...,\alpha_n\in R и \alpha_1 u_1+...+\alpha_n u_n=0\in R^n. Тогда для строки

z=\alpha_1 u_1+...+\alpha_m u_m=-\alpha_{m+1}u_{m+1}-...-\alpha_n u_n
имеем z\in U\cap V, где V=\langle u_{m+1},...,u_n\rangle. Если z=(z1,...,zn), z_i\in R, 1 \leq i \leq n, то по построению подпространств U и V (см. (9.2), (9.3)) имеем
(z_1,...,z_n)
\begin{pmatrix}
z_1\\
\vdots\\
z_n
\end{pmatrix}=0,
z_1^2+...+z_n^2=0, следовательно, z1=...=zn=0, и z=0\in R^n. Значит,
\alpha_1 u_1+...+\alpha_m u_m=0 (\in  R^n) = \alpha_{m+1}u_{m+1}+...+\alpha_nu_n.
Но u1,...,um - линейно независимые строки, поэтому \alpha_1=...=\alpha_m=0. Строки um+1,...,un также линейно независимы, следовательно, \alpha_{m+1}=...=\alpha_n=0. Итак, \alpha_1=...=\alpha_n=0 и строки u1,...,un линейно независимы.

Таким образом, мы рассмотрели два способа задания линейных подпространств в K V=Kn :

  1. как множество решений Xодн однородной системы линейных уравнений;
  2. как линейную оболочку \langle u_1,...,u_m\rangle строк u_1,...,u_m\in {}_K V=K^n.

При этом мы научились переходить от первого задания ко второму (фундаментальная система решений) и от второго задания к первому. Первый способ задания удобен для задания пересечения U\cap W подпространств (надо к первой однородной системе уравнений приписать вторую). Второй способ задания удобен для задания суммы подпространств:

\langle u_1,...,u_m\rangle+ \langle w_1,...,w_t\rangle= \langle u_1,...,u_m,w_1,...,w_t\rangle.
В следующем примере мы увидим комбинацию этих приемов.

Пример 9.18.1. Пусть V_1=\langle u_1,u_2,u_3\rangle\subseteq  R^4 (линейная оболочка строк u1=(1,1,0,0), u2=(0,1,1,0), u3=(0,0,1,1) ), V_2=\langle v_1,v_2,v_3\rangle\subseteq R^4 (линейная оболочка строк v1=(1,0,1,0), v_2=(0,2,1,1), v3=(1,2,1,2) ). Необходимо найти базисы линейных пространств V1+V2 и V_1\cap V_2, при этом строки u1, u2, u3, v1, v2, v3 выразить через базис пространства V1+V2.

Решение Запишем строки u1, u2, u3, v1, v2, v3 по столбцам и приведем полученную матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:

\begin{mult}
\begin{gathered}
u_1\ u_2\ u_3\,\,\ \! v_1\ v_2\ v_3 \kern53mm
\\
\left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)\to
\left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & \phm 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 1 & \phm 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & \phm 0 & 1 & 2
\end{array}\right)\to{}
\end{gathered}
\\[3mm]
\begin{gathered}
\kern55mm u'_1\,\ u'_2\,\ u'_3\ \ \ v'_1\;\ \ \ v'_2\;\ \ \ v'_3
\\
{}\to
\left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & \phm 1 & \phm 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & -1 & \phm 2 & 1\\
0 & 0 & 1 & \phm 2 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1 & \phm 0 & \phm 1 & 2
\end{array}\right)\to
\left(
\begin{array}{cccccc}
\multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 0 & \phm 1 & \phm 0 & \phm 1\\
 \cline{1-1}
0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & -1 & \phm 2 & \phm 1\\
 \cline{2-2}
0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & \phm 2 & -1 & \phm 0\\
 \cline{3-3}
0 & 0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{\phm 1} & -1 & -1\\
 \cline{4-6}
\end{array}\right).
\end{gathered}
\end{mult}
Поскольку V_1+V_2=\langle u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3\rangle и элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейных соотношений между столбцами, то {u1,u2,u3,v1} - базис в V_1+V_2 (и так как \dim (V_1+V_2)=4, то V1+V2= R^4 ). Из ступенчатого вида мы вычисляем v'2 и v'3 через u'1, u'2, u'3, v'1 :
v'_2+v'_1=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}=
u'_1+u'_2+u'_3.
Поэтому v'_2=u'_1+u'_2+u'_3-v'_1 и, следовательно, v2=u1+u2+u3-v1. Для v'3 мы видим, что v'3+v'1=(2,0,2,0)*=2u'1+2u'3, поэтому v3=2u1+2u3-v1. Проведенные вычисления равносильны завершению приведения матрицы к главному ступенчатому виду:
\left(
\begin{array}{cccccc}
\multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 0 & 0 & \phm 1 & \phm 2\\
 \cline{1-1}
0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 0 & \phm 1 & \phm 0\\
 \cline{2-2}
0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & \phm 1 & \phm 2\\
 \cline{3-3}
0 & 0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{\phm 1} & -1 & -1\\
 \cline{4-6}
\end{array}\right).
Рассмотрим теперь V_1\cap V_2. Для этого найдем однородные системы линейных уравнений, чьи множества решений совпадают с V1 и V2 соответственно.

Для V1:

\left(
\begin{array}{cccc}
\multicolumn{1}{|c}{1} & 1 & 0 & 0\\
 \cline{1-1}
0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 1 & 0\\
 \cline{2-2}
0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 1\\
 \cline{3-4}
\end{array}
\right)
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix},
система уже имеет ступенчатый вид, x1, x2, x3 - главные неизвестные, x4 - свободная. Фундаментальная система решений состоит из одной строки (-1,1,-1,1). Итак, подпространство V1 совпадает с пространством решений однородной системы линейных уравнений
\begin{equation}\label{denovestelo}
(-1,1,-1,1)
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} = 0.
\end{equation} ( 9.4)

Для V2 :

\begin{align*} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix} \to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1 & 1\\
0 & 2 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix} \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} \!=\!
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix} \to\!
%{}
%\\[3mm]
%& \quad {}\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 2 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} \!=\!
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix} \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\left(
\begin{array}{cccc}
\multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 1 & \phm 0\\
 \cline{1-1}
0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & \phm 1\\
 \cline{2-2}
0 & 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & -1\\
 \cline{3-4}
\end{array}\right)
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix},
\end{align*}
и мы приходим к ступенчатому виду, при этом x1, x2, x3 - главные неизвестные, а x4 - свободная. Фундаментальная система решений состоит из одной строки (-1,-1,1,1). Значит, однородная система линейных уравнений
\begin{equation}\label{denovedusteloj}
(-1,-1,1,1)
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} = 0
\end{equation} ( 9.5)
задает подпространство V2.

Ясно, что система

\begin{pmatrix}
-1 & \phm 1 & -1 & 1
\\
-1 & -1 & \phm 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1
\\
x_2
\\
x_3
\\
x_4
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0
\\
0
\end{pmatrix}
задает подпространство V_1\cap V_2.

Решим эту систему:

\begin{align*} & \begin{pmatrix}
-1 & \phm 1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & \phm 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix} \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\begin{pmatrix}
\phm 1 & -1 & 1 & -1\\
-1 & -1 & 1 & \phm 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix} \to{}
\\[1mm] & \quad {}\to
\left(
\begin{array}{cccc}
\multicolumn{1}{|c}{1} & -1 & 1 & -1\\
 \cline{1-1}
0 & \multicolumn{1}{|c}{-2} & 2 & \phm 0\\
 \cline{2-4}
\end{array}\right)
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix},
\end{align*}
x1, x2 - главные неизвестные, x3, x4 - свободные неизвестные. Фундаментальная система решений состоит из двух строк
\begin{align*}
u &= (0,1,1,0),\\
v &= (1,0,0,1).
\end{align*}
Следовательно, {u,v} - базис линейного подпространства V_1\cap V_2.

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате