Основы теории нечетких множеств
[+]
Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3071 / 549 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Искусственный интеллект и робототехника
Специальности: Программист, Математик
Теги: beta, автоматы, алгебра, алгоритмы, анализ, антирефлексивность, игры, лингвистическая переменная, логика, моделирование, нечеткая логика, нечеткая переменная, нечеткое отношения, обучение, операция конъюнкции, отношение сходства, поиск, программирование, протоколы, совместимость, теория, теория приближений, терм-множества, универсальное множество, универсум, функция принадлежности, элементы

Лекция 4: Показатель размытости нечетких множеств. Нечеткие меры и интегралы

A
|
версия для печати
< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >

Супераддитивные меры

Функция доверия. Определение функции доверия предполагает, что степень доверия высказыванию A, которое является истинным, не обязательно равна 1. Это означает, что сумма степеней доверия высказыванию A и его отрицанию \(\bar A\) также не обязательно равна 1, а может быть либо равной, либо меньшей 1. Другими словами, когда высказывание A является истинным с определенной степенью s\in [0,1], его мера неопределенности выражается с помощью функции

b(B) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {B = X;} \\ {s,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {B \supset A,\;B \ne X;} \\ {0,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {B\not \supset A;} \\ \end{array} } \right.
которая называется простой функцией носителя, сосредоточенной на A.

Если s=1, то получаем меру, которая называется мерой определенности, сосредоточенной на A.

Если s=0 или A=X, то тогда b(B) называется пустой функцией доверия (полное незнание).

Итак, функция доверия — это мера, удовлетворяющая следующим свойствам:

  1. \(b(\varnothing ) = 0;\)
  2. \(b(X) = 1;\)
  3. \(\forall A \in \wp \quad \;0 \leqslant b \leqslant 1;\)
  4. \(\displaystyle \forall A_1 ,\ldots ,A_n \in \wp \quad b(A_1 \cup \ldots \cup A_n ) \geqslant \)
    \(\displaystyle \quad \quad \geqslant \;\sum\limits_{i = 1}^n {b(A_i )} - \sum\limits_{i < j} {b(A_i \cap A_j )} + \ldots + ( - 1)^{n + 1} b(A_1 \cap \ldots A_n ). \)

Согласованная функция доверия. Понятие согласованной функции доверия базируется на определении ядра \(C = \{ B \subset X|m(B) >0\}\), полностью упорядоченного по вложению.

Согласованная функция доверия определяется с помощью следующих аксиом:

  1. \(b(\varnothing ) = 0;\)
  2. \(b(X) = 1;\)
  3. \(b(A \cap B) = \min \{ b(A),b(B)\} .\)

Субаддитивные меры

Мера правдоподобия

Мера правдоподобия множества A из X определяется как

Pl(A) = 1 - b(\bar A),
где b — функция уверенности.

Мера правдоподобия удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \(Pl(\varnothing ) = 0;\)
  2. \(Pl(X) = 1;\)
  3. \(\forall A_1 ,\ldots ,A_n \subseteq X\quad Pl(A_1 \cap \ldots \cap A_n )\leqslant\)
    \( \displaystyle \quad \quad \leqslant \sum\limits_{i = 1}^n {Pl(A_i^{} )} - \sum\limits_{i < j} {Pl(A_i \cup A_j )} + \ldots + ( - 1)^{n + 1} Pl(A_1 \cup \ldots \cup A_n ). \)

Пусть \mu и \nu - две меры - такие, что \(\forall A \in \wp \quad \mu (A) + \nu (\bar A) = 1\). В этом случае \mu является функцией доверия тогда и только тогда, если \nu — мера правдоподобия.

Мера возможности

Мерой возможности называется функция \(\Pi :\wp \to [0,1]\), удовлетворяющая следующим аксиомам:

  1. \(\Pi (\varnothing ) = 0;\)
  2. \(\Pi (X) = 1;\)
  3. \(\displaystyle \forall i \in N,\;A_i \subset X,\quad \Pi \left( {\mathop \cup \limits_{i \in N} \;A_i } \right) = \mathop {\sup }\limits_{i \in N} \;\Pi (A_i ). \)

    где N — множество натуральных чисел.

Пусть \mu и \nu - две меры - такие, что \(\forall A \in \wp \quad \mu (A) + \nu (\bar A) = 1\). Нечеткая мера \mu является согласованной функцией доверия тогда и только тогда, если \nu является мерой возможности.

Мера вероятности

Вероятностная мера ( \lambda =0 ) является частным случаем функции доверия или меры правдоподобия (см. рис. 4.1). Нечеткая мера p является вероятностной мерой тогда и только тогда, если выполняются следующие условия:

  1. \(p(\varnothing ) = 0;\)
  2. \(p(X) = 1;\)
  3. \( \displaystyle \forall i \in N,\;A_i \subset X,\forall i \leqslant j\quad \left( {A_i \cap A_j = \varnothing \Rightarrow p\left( {\mathop \cup \limits_{i \in N} \;A_i } \right) = \sum p (A_i )} \right). \)

g_v -мера

Нечеткая мера g_{v} называется g_{v} -мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \( g_v (\varnothing ) = 0; \)
  2. \( g_v (X) = 1; \)
  3. \(\forall i \in N,\;A_i \in \wp ,\;\forall i \ne j \)
    \(\displaystyle A_i \cap A_j = \varnothing \Rightarrow g_v \left( {\mathop \cup \limits_{i \in N} A_i } \right) = (1 - v)\mathop \vee \limits_{i \in N} g_v (A_i ) + v\sum\limits_{i \in N} {g_v (A_i ),\;v \geqslant 0;} \)
  4. \( \forall A,B \in \wp \quad \left( {A \subseteq B\quad \Rightarrow \quad g_v (A) \leqslant g_v (B)} \right). \)

Очевидно, что при v=0, g_{v} -мера является мерой возможности, а при v=1 — вероятностной мерой. Если v>1, то g_{v} -мера описывает неопределенность, отличающуюся по своим свойствам от вероятности или возможности.

Дальше >>
< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >

Вопросы и ответы

вопросов: 1
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.
 

ответить