Опубликован: 20.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3775 / 854 | Оценка: 4.38 / 3.99 | Длительность: 12:07:00
ISBN: 978-5-94774-654-9
Специальности: Программист
Лекция 3:

Геометрические преобразования

Аналитическое представление кривых и поверхностей

Пусть на плоскости задана декартова система координат.

Кривая на плоскости - это геометрическое место точек (x,y), удовлетворяющих уравнению

F(x,y)=0 ( 3.10)
где F - функция двух переменных. Ясно, что далеко не каждая функция будет задавать линию. Так, например, уравнению
x^2+y^2+1=0
не удовлетворяет ни одна точка плоскости, а уравнению
x^2+y^2=0
удовлетворяет только одна точка (0,0).

Для аналитического представления кривой во многих случаях удобнее задавать кривую параметрическими уравнениями, используя вспомогательную переменную (параметр) t:

x=\varphi(t), \quad y=\psi(t), t \in [a,b], ( 3.11)
где \varphi и \psi - непрерывные функции на заданном интервале изменения параметра. Если функция \varphi(t) такова, что можно выразить t через x(t=\varphi^{-1}(x)), то от параметрического представления кривой легко перейти к уравнению (3.10):
y=\psi(\varphi^{-1}(x))=0.
Систему уравнений (3.11) можно записать в векторном виде:
\overrightarrow{r}=\overrightarrow{f}(t), \quad \overrightarrow{r}=(x,y), \quad \overrightarrow{f}(t)=(\varphi(t),\psi(t)).

Отрезок прямой представляет собой частный случай кривой, причем параметрическое представление его может иметь вид

x=t, \quad y=at+b, \quad t \in[t_1,t_2]
или
x=at+b, y=t, t\in[t_1,t_2]

Окружность радиуса r с центром в точке (x_0,y_0) может быть представлена параметрическими уравнениями

x=x_0+r\cdot\cos t, \quad y=y_0+r\cdot\sin t, t\in[0,2\pi].

Перейдем к трехмерному пространству с заданной декартовой системой координат.

Поверхность в пространстве - это геометрическое место точек (x,y,z), удовлетворяющих уравнению вида

F(x,y,z)=0. ( 3.12)

Так же как и в случае кривой на плоскости, не всякая функция F описывает какую-либо поверхность. Например, уравнению

x^2+y^2+z^2+1=0
не удовлетворяет ни одна точка пространства. Поверхность также может быть задана в параметрическом виде, но в отличие от кривой для этого требуются две вспомогательные переменные (параметры):
x=\varphi(u,v), \quad y=\psi(u,v), \quad z=\zeta(u,v), \quad u\in[a,b], \quad v\in[c,d]. ( 3.13)

Например, сфера радиуса r с центром в точке (x_0, y_0, z_0) может быть задана уравнением

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2-r^2=0
либо же параметрическими уравнениями
x=x_0+r\cdot\cos u\cdot\cos v, \quad
y=y_0+r\cdot\sin u, \quad
z=z_0+r\cdot\cos u \cdot\sin v.

Кривую в пространстве можно описать как пересечение двух поверхностей, т.е. с помощью системы уравнений

F_1(x,y,z)=0, \quad F_2(x,y,z)=0 ( 3.14)
или параметрическими уравнениями вида
x=\varphi(t), \quad y=\psi(t), z=\zeta(t), \quad t\in[a,b]. ( 3.15)

Дмитрий Трефилов
Дмитрий Трефилов

Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Ирина Бурлакова
Ирина Бурлакова
Россия, Красноярск