Опубликован: 20.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3775 / 854 | Оценка: 4.38 / 3.99 | Длительность: 12:07:00
ISBN: 978-5-94774-654-9
Специальности: Программист
Лекция 3:

Геометрические преобразования

Аннотация: Системы координат и геометрические преобразования (параллельный перенос, масштабирование, вращение). Задание геометрических преобразований с помощью матриц. Конгруэнтные преобразования. Переход в другую систему координат. Задача вращения относительно произвольной оси

Системы координат и векторы

Для дальнейшего изложения нам понадобятся некоторые сведения из аналитической геометрии и линейной алгебры. Не ставя перед собой задачу подробного рассмотрения всех этих вопросов, приведем (или напомним) те основные понятия и операции, которые используются в алгоритмах компьютерной графики.

Две взаимно перпендикулярные пересекающиеся прямые с заданным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Точка пересечения O называется началом координат, прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью OX, или осью абсцисс, другую - осью OY, или осью ординат. Эти оси также называют координатными осями.

Возьмем произвольную точку M на плоскости с заданной системой координат. Пусть M_x и M_y - проекции этой точки на оси абсцисс и ординат соответственно, причем длина отрезка OM_x равна x, а длина OM_y равна y. Тогда пара чисел (x,y) называется декартовыми координатами точки M на плоскости ( абсциссой и ординатой точки).

Три взаимно перпендикулярные пересекающиеся прямые с заданным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве. Так же как и в случае плоскости, точка пересечения O называется началом координат, прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью OX, или осью абсцисс, другую - осью OY, или осью ординат, третью - осью OZ, или осью аппликат.

Пусть M_x, M_y и M_z - проекции произвольной точки M в пространстве на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно, причем длина отрезка OM_x равна x, длина OM_y равна y, а длина OM_z равна z. Тогда тройка чисел x,y,z называется декартовыми координатами точки M в пространстве ( абсциссой, ординатой и аппликатой точки).

Система координат на плоскости

Рис. 3.1. Система координат на плоскости
Система координат в пространстве

Рис. 3.2. Система координат в пространстве

Пусть на плоскости задана декартова система координат. Возьмем две точки с координатами (x_1, y_1) и (x_2, y_2) соответственно. Тогда, используя теорему Пифагора, можно получить, что расстояние между этими двумя точками выражается формулой

\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

Расстояние между двумя точками в пространстве с координатами (x_1, y_1, z_1) и (x_2, y_2, z_2) выражается аналогичной формулой:

\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.

Отрезок на плоскости и в пространстве задается с помощью двух точек, указывающих его границы. Геометрическим вектором, или просто вектором в пространстве, будем называть отрезок, у которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом (т.е. указано направление вектора). Начало вектора называют точкой его приложения. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Векторы считаются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Таким образом, все векторы, получающиеся параллельным переносом из одного и того же вектора, равны мeжду собой. Любая точка на плоскости и в пространстве может рассматриваться как вектор, начало которого совпадает с началом координат ( радиус-вектор ), а каждый вектор, перенесенный в начало координат, задает своим концом единственную точку пространства. Поэтому любой вектор может быть представлен совокупностью своих координат в декартовой системе.

Линейными операциями над векторами принято называть операции сложения векторов и операцию умножения вектора на число.

Суммой двух векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} называется вектор, идущий из начала вектора \overrightarrow{a} в конец вектора \overrightarrow{b}, при условии, что вектор \overrightarrow{b} приложен к концу вектора \overrightarrow{a}.

Перечислим основные свойства операции сложения векторов:

  • \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.
  • (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}).
  • Существует нулевой вектор \overrightarrow{0}, такой, что \overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a} для любого вектора \overrightarrow{a}.
  • Для каждого вектора \overrightarrow{a} существует противоположный ему вектор \overrightarrow{a}', такой, что \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}'=\overrightarrow{0}.

Разностью двух векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} называется такой вектор \overrightarrow{c}, который в сумме с вектором \overrightarrow{b} дает вектор \overrightarrow{a}.

Произведением \alpha\overrightarrow{a} вектора \overrightarrow{a} на число \alpha называется вектор \overrightarrow{b}, коллинеарный вектору \overrightarrow{a}, имеющий длину |\alpha|\cdot|\overrightarrow{a}| и направление, совпадающее с направлением вектора \overrightarrow{a} при \alpha>0 и противоположное направлению \overrightarrow{a} при \alpha<0. Геометрический смысл умножения вектора на число состоит в том, что длина вектора увеличивается в |\alpha| раз.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

  • \alpha(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\alpha\overrightarrow{a}+\alpha\overrightarrow{b} (распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов);
  • (\alpha+\beta)\overrightarrow{a}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{a} (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел);
  • (\alpha\beta)\overrightarrow{a}=\alpha(\beta\overrightarrow{a}) (сочетательное свойство числовых сомножителей);
  • если вектор \overrightarrow{b} коллинеарен ненулевому вектору \overrightarrow{a}, то существует вещественное число \beta, такое, что \overrightarrow{b}=\beta\overrightarrow{a}.
Дмитрий Трефилов
Дмитрий Трефилов

Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Ирина Бурлакова
Ирина Бурлакова
Россия, Красноярск