Вычисление оптимальных стратегий в бесконечных играх

Описание бесконечной игры

Общие методы вычисления оптимальных стратегий в бесконечных играх в настоящее время еще мало разработаны. Поэтому рассмотрим только некоторые частные игры, которые представляют практический интерес и допускают сравнительно простой подход при вычислении оптимальных стратегий (Абчук В.А., Емельянов Л.А., Матвейчук Ф.А., Суздаль В.Г. "Введение в теорию выработки решений" В. издательство, Москва, 1972.) .

К бесконечным играм относятся модели конфликтных ситуаций, в которых каждая из противоположных сторон выбирает некоторые значения непрерывно меняющегося параметра (процентное соотношение распределения поисковых сил по районам поиска или бюджета между компаниями). В этом случае чистые стратегии игроков представляют выборы тех или иных чисел из некоторого интервала. Без потери общности можно считать, что эти стратегии являются точками отрезка единичной длины . Тогда такую игру можно описать следующим образом.

Игрок I выбирает чистую стратегию , где , а игрок II выбирает чистую стратегию , где . Выбранные стратегии и определяют ситуацию , в которой игрок I получает выигрыш . Множество ситуаций заполняет единичный квадрат (рис. 10.1).

Рис. 10.1.

По этому иногда такие игры называют играми на единичном квадрате. Функция, ставящая в соответствие каждой ситуации выигрыш, который получает игрок I, называется функцией выигрыша.

Предположим, что функция имеет минимум по для и максимум для . Тогда, если игрок I выберет , то как бы ни действовал игрок II, первый может рассчитывать выиграть по меньшей мере

.

Поскольку игрок I может выбрать любое из интервала , он может выбрать и такое , при котором его выигрыш будет максимальным, то есть игрок I при надлежащим выборе гарантирует себе выигрыш не меньше чем

.

Аналогично игрок II может выбрать такое y, при котором игрок I не выиграет более чем

.

Следовательно, существует неравенство

( 10.1)

Если в (9.1.) имеет место равенство, то есть

,

то функция выигрыша имеет седловую точку, то есть существуют такие и , при которых является одновременно минимальным по и максимальным по . Очевидно, что в этом случае

( 10.2)

Если при любых и пара удовлетворяет неравенствам (2), то эта пара называется решением игры в чистых стратегиях. Соответственно этому игроки должны применять чистые стратегии и , которые называются оптимальными. При

игроки должны применять смешанные стратегии.

Смешанная стратегия в бесконечной игре на единичном квадрате представляет собой случайный выбор числа из интервала , то есть если задана смешанная стратегия, то это определяет закон распределения, в соответствии с которым игрок выбирает число из интервала . Для математического описания такого закона распределения удобно пользоваться функцией распределения.

Предположим, что игрок I выбирает число из интервала согласно функции распределения . Тогда для любой чистой стратегии игрока II математическое ожидание выигрыша , если оно существует, будет равно

.

Пусть игрок II выбирает число из интервала согласно функции распределения . Тогда математическое ожидание выигрыша , если оно существует, будет равно

.

Предположим, что существует

и

Выражение означает, что определяется такой вид функции распределения , который минимизирует выражение при заданной функции распределения . Тогда выполняется следующее неравенство:

( 10.3)

В теории игр доказывается, что, если функция выигрыша непрерывна по и , то

( 10.4)

Общее значение обеих частей этого равенства называется значением игры и обозначается .

Если существуют такие и , что выполняются неравенства (10.2.), то значение игры равно .

Если выполняется (10.4.), то у игрока I имеется такая стратегия (функция распределения) , что математическое ожидание выигрыша будет

для любой стратегии игрока II .

Аналогично, если выполняется (10.4.) , то существует функция распределения игрока II, при использовании которой математическое ожидание выигрыша будет

для любой стратегии игрока I .

Стратегии и называются оптимальными стратегиями игроков I и II, соответственно. Пара называется решением игры в смешанных стратегиях, а значение игры равно

.