Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 06.11.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 3337 / 1210 | Оценка: 4.24 / 3.67 | Длительность: 14:37:00
Специальности: Математик
Лекция 10:

Вычисление оптимальных стратегий в бесконечных играх

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Аннотация: Описание бесконечной игры. Вычисление оптимальных смешанных стратегий в играх на единичном квадрате. Свойства оптимальных стратегий. Вычисление оптимальных смешанных стратегий в играх на единичном квадрате. Игры на единичном квадрате с выбором момента времени. Задача.

Описание бесконечной игры

Общие методы вычисления оптимальных стратегий в бесконечных играх в настоящее время еще мало разработаны. Поэтому рассмотрим только некоторые частные игры, которые представляют практический интерес и допускают сравнительно простой подход при вычислении оптимальных стратегий (Абчук В.А., Емельянов Л.А., Матвейчук Ф.А., Суздаль В.Г. "Введение в теорию выработки решений" В. издательство, Москва, 1972.) .

К бесконечным играм относятся модели конфликтных ситуаций, в которых каждая из противоположных сторон выбирает некоторые значения непрерывно меняющегося параметра (процентное соотношение распределения поисковых сил по районам поиска или бюджета между компаниями). В этом случае чистые стратегии игроков представляют выборы тех или иных чисел из некоторого интервала. Без потери общности можно считать, что эти стратегии являются точками отрезка единичной длины [0,1]. Тогда такую игру можно описать следующим образом.

Игрок I выбирает чистую стратегию x, где 0\le x\le 1, а игрок II выбирает чистую стратегию y, где 0\le y\le 1. Выбранные стратегии x и y определяют ситуацию (x,y), в которой игрок I получает выигрыш K(x,y). Множество ситуаций заполняет единичный квадрат (рис. 10.1).


Рис. 10.1.

По этому иногда такие игры называют играми на единичном квадрате. Функция, ставящая в соответствие каждой ситуации выигрыш, который получает игрок I, называется функцией выигрыша.

Предположим, что функция K(x,y) имеет минимум по y для 0\le y \le 1 и максимум x для 0\le y \le 1. Тогда, если игрок I выберет x, то как бы ни действовал игрок II, первый может рассчитывать выиграть по меньшей мере

\mathop{min}\limits_y K(x,y).

Поскольку игрок I может выбрать любое x из интервала [0,1], он может выбрать и такое x, при котором его выигрыш будет максимальным, то есть игрок I при надлежащим выборе x гарантирует себе выигрыш не меньше чем

\mathop{max}\limits_x \mathop{min}\limits_y K(x,y).

Аналогично игрок II может выбрать такое y, при котором игрок I не выиграет более чем

\mathop{min}\limits_y \mathop{max}\limits_x K(x,y).

Следовательно, существует неравенство

\mathop{max}\limits_x \mathop{min}\limits_y K(x,y)\le \mathop{min}\limits_y \mathop{max}\limits_x K(x,y) ( 10.1)

Если в (9.1.) имеет место равенство, то есть

\mathop{max}\limits_x \mathop{min}\limits_y K(x,y)= \mathop{min}\limits_y \mathop{max}\limits_x K(x,y),

то функция выигрыша K(x,y) имеет седловую точку, то есть существуют такие x_0 и y_0, при которых K(x_0,y_0) является одновременно минимальным по y и максимальным по x. Очевидно, что в этом случае

и
\left
\begin{array}{ccc}
K(x_0,y) \ge K(x_0,y_0)\text{ для }0\le y\le 1\\
K(x,y_0) \le K(x_0,y_0) 
\text{ для }0\le x\le 1
\end{array}
\right\rangle ( 10.2)

Если при любых x и y пара (x_0,y_0) удовлетворяет неравенствам (2), то эта пара называется решением игры в чистых стратегиях. Соответственно этому игроки должны применять чистые стратегии x_0 и y_0, которые называются оптимальными. При

\mathop{max}\limits_x \mathop{min}\limits_y K(x,y) < \mathop{min}\limits_y \mathop{max}\limits_x K(x,y)

игроки должны применять смешанные стратегии.

Смешанная стратегия в бесконечной игре на единичном квадрате представляет собой случайный выбор числа из интервала [0,1], то есть если задана смешанная стратегия, то это определяет закон распределения, в соответствии с которым игрок выбирает число из интервала [0,1]. Для математического описания такого закона распределения удобно пользоваться функцией распределения.

Предположим, что игрок I выбирает число x из интервала [0,1] согласно функции распределения F(x). Тогда для любой чистой стратегии y игрока II математическое ожидание выигрыша M(F,y), если оно существует, будет равно

\int\limits_{0}^{1}K(x,y)dF(x).

Пусть игрок II выбирает число y из интервала [0,1] согласно функции распределения G(y). Тогда математическое ожидание выигрыша M(F,G), если оно существует, будет равно

\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1} K(x,y)dF(x)dG(y).

Предположим, что существует

\mathop{max}\limits_F \mathop{min}\limits_G M(F,G) и \mathop{max}\limits_G \mathop{min}\limits_F M(F,G)

Выражение \mathop{min}\limits_G M(F,G) означает, что определяется такой вид функции распределения G(y), который минимизирует выражение M(F,G) при заданной функции распределения F(x). Тогда выполняется следующее неравенство:

\mathop{max}\limits_F \mathop{min}\limits_G M(F,G) \le \mathop{max}\limits_G \mathop{min}\limits_F M(F,G) ( 10.3)
.

В теории игр доказывается, что, если функция выигрыша непрерывна по x и y, то

\mathop{max}\limits_F \mathop{min}\limits_G M(F,G) = \mathop{max}\limits_G \mathop{min}\limits_F M(F,G) ( 10.4)

Общее значение обеих частей этого равенства называется значением игры и обозначается \nu.

Если существуют такие x_0 и y_0, что выполняются неравенства (10.2.), то значение игры равно K(x_0,y_0).

Если выполняется (10.4.), то у игрока I имеется такая стратегия (функция распределения) F^*(x), что математическое ожидание выигрыша будет

M(F,G^*)\ge\nu

для любой стратегии игрока II G(y).

Аналогично, если выполняется (10.4.) , то существует функция распределения G^*(y) игрока II, при использовании которой математическое ожидание выигрыша будет

M(F,G^*)\le\nu

для любой стратегии игрока I F(x).

Стратегии F^*(x) и G^*(y) называются оптимальными стратегиями игроков I и II, соответственно. Пара (F^*,G^*) называется решением игры в смешанных стратегиях, а значение игры равно

M(F^*,G^*).

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Данил Комардин
Данил Комардин

мне задали дистанционное задание на сертификат,но я не могу его найти