НОУ ИНТУИТ | Комбинаторные алгоритмы для программистов. Лекция 16: Алгоритмы на графах

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Новосибирский Государственный Университет

Опубликован: 08.11.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1941 / 96 | Оценка: 4.27 / 4.09 | Длительность: 12:16:00

Темы: Программирование, Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Поиск в глубину. Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути. Алгоритм Флойда нахождения кратчайших путей между парами вершин. Программы.

Поиск в глубину

При решении многих задач, касающихся ориентированных графов, необходим эффективный метод систематического обхода вершин и дуг орграфов. Таким методом является метод поиск в глубину. Метод поиска в глубину является основой многих эффективных алгоритмов работы с графами. Предположим, что есть ориентированный граф , в котором первоначально все вершины помечены меткой " unvisited ". Поиск в глубину начинается с выбора начальной вершины орграфа , для этой вершины метка " " меняется на метку " visited ". Затем для каждой вершины, смежной с вершиной и не посещаемой раньше, рекурсивно применяется поиск в глубину. Когда все вершины, которых можно достичь из вершины , будут рассмотрены, поиск заканчивается. Если некоторые вершины остались не посещенными, то выбирается одна из них и алгоритм повторяется. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут обойдены все вершины орграфа .

Метод получил свое название - поиск в глубину, поскольку поиск не посещенных вершин идет в направлении вглубь до тех пор, пока это возможно. Например, пусть является последней посещенной нами вершиной. Выбираем очередную дугу (x,y) (ребро), выходящую из вершины . Возможна следующая альтернатива: вершина помечена меткой " unvisited "; вершина помечена меткой " visited ". Если вершина уже посещалась, то отыскивается другая вершина, смежная с вершиной ; иначе вершина метится меткой " visited " и поиск начинается заново от вершины . Пройдя все пути, которые начинаются в вершине , возвращаемся в вершину , то есть в ту вершину, из которой впервые была достигнута вершина . Затем процесс повторяется, то есть продолжается выбор нерассмотренных дуг, исходящих из вершины , и так до тех пор, пока не будут исчерпаны все эти дуги.

Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути

Рассмотрим алгоритм нахождения путей в ориентированном графе. Пусть есть ориентированный граф G(V,E) , у которого все дуги имеют неотрицательные метки (веса дуг), а одна вершина определена как источник. Задача состоит в нахождении весов кратчайших путей от источника ко всем другим вершинам граф G(V,E) . Здесь длина пути определяется как сумма весов дуг, составляющих путь. Эта задача часто называется задачей нахождения кратчайшего пути с одним источником. Отметим, что мы будем говорить о длине пути даже тогда, когда она измеряется в других, не линейных, единицах измерения, например, во временных единицах или в денежном эквиваленте.

Можно представить орграф G(V,E) в виде карты маршрутов рейсовых полетов из одного города в другой. Каждая вершина соответствует городу, а ребро (дуга) (v,w) - рейсовому маршруту из города в город . Вес дуги (v,w) - это время полета из города в город . В этом случае решение задачи нахождения кратчайшего пути с одним источником для ориентированного графа трактуется как минимальное время перелета между различными городами.

Для решения поставленной задачи будем использовать "жадный" алгоритм, который называют алгоритмом Дейкстры (Dijkstra). Алгоритм строит множество вершин, для которых кратчайшие пути от источника уже известны. На каждом шаге к множеству добавляется та из оставшихся вершин, расстояние до которой от источника меньше, чем для других оставшихся вершин. Если веса всех дуг неотрицательны, то можно быть уверенным, что кратчайший путь от источника к конкретной вершине проходит только через вершины множество . Назовем такой путь особым. На каждом шаге алгоритма используется также массив , в который записываются длины кратчайших особых путей для каждой вершины. Когда множество будет содержать все вершины орграфа, то есть для всех вершин будут найдены особые пути, тогда массив будет содержать длины кратчайших путей от источника к каждой вершине.

Алгоритм Флойда нахождения кратчайших путей между парами вершин

Предположим, что мы имеем помеченный орграф, который содержит время полета по маршрутам, связывающим определенные города, и~мы хотим построить таблицу, где приводилось бы минимальное время перелета из одного (произвольного) города в любой другой. В этом случае мы сталкиваемся с общей задачей нахождения кратчайших путей, то есть нахождения кратчайших путей между всеми парами вершин орграфа.

Формулировка задачи.Есть ориентированный граф G(V,E) , каждой дуге (ребру) (v,w) этого графа сопоставлен неотрицательный вес $C_{vw}$ . Общая задача нахождения кратчайших путей заключается в нахождении для каждой упорядоченной пары вершин любого пути от вершины в вершину , длина которого минимальна среди всех возможных путей от к .

Можно решать эту задачу, последовательно применяя алгоритм Дейкстры для каждой вершины, объявляемой в качестве источника. Но мы для решения поставленной задачи воспользуемся алгоритмом, предложенным Флойдом (R.W. Floyd). Пусть все вершины орграфа последовательно пронумерованы от 1 до . Алгоритм Флойда использует матрицу $A(n \times n)$ , в которой находятся длины кратчайших путей:

$A_{ij} = C_{ij}$ , если $i \ne j$ ;

$A_{ij} = 0$ , если i = j ;

$A_{ij} = \infty$ если отсутствует путь из вершины в вершину .

Над матрицей выполняется итераций. После -й итерации $A_{ij}$ содержит значение наименьшей длины пути из вершины в вершину , причем путь не проходит через вершины с номерами большими .

Вычисление на -ой итерации выполняется по формуле: $A_{ij}^k = \min (A_{ij}^{k - 1},A_{ik}^{k - 1},A_{kj}^{k - 1} )$ Верхний индекс обозначает значение матрицы после -ой итерации.

Для вычисления $A_{ij}^k$ проводится сравнение величины $A_{ij}^{k -1}$ (то есть стоимость пути от вершины к вершине без участия вершины или другой вершины с более высоким номером) с величиной $A_{ik}^{k - 1} + A_{kj}^{k - 1}$ (стоимость пути от вершины к вершине плюс стоимость пути от вершины до вершины ). Если путь через вершину дешевле, чем $A_{ij}^{k - 1}$ , то величина $A_{ij}^k$ изменяется. Рассмотрим орграф: