Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 08.11.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1940 / 96 | Оценка: 4.27 / 4.09 | Длительность: 12:16:00
Специальности: Программист
Теги:
Лекция 10:
Производящие функции и рекуррентные соотношения
Производящие функции и рекуррентные соотношения
Теория производящих функций тесно связана с рекуррентными соотношениями. Вернемся снова к делению многочленов. Пусть функции и разложены в степенные ряды,
- два многочлена, причем . Мы будем, кроме того, предполагать, что , то есть, что алгебраическая дробь правильна (в противном случае мы всегда можем выделить из нее целую часть). Мы знаем, что если( 10.10) |
( 10.11) |
( 10.12) |
Обратно, если дано рекуррентное соотношение (10.12) и заданы члены , то мы сначала по формулам (10.11) вычислим значения . А тогда производящей функцией для последовательности чисел является алгебраическая дробь
( 10.13) |
Об едином нелинейном рекуррентном соотношении
При решении задачи о разбиении последовательности мы пришли к рекуррентному соотношению
( 10.14) |
( 10.15) |
( 10.16) |
Но по рекуррентному соотношению (10.14),
Значит, Полученный ряд есть не что иное, как ; поскольку , он равен Для функции получилось квадратное уравнение (10.17). Решая его, находим, что Мы выбрали перед корнем знак минус, так как в противном случае при мы имели бы , а из разложения (10.16) видно, что .