Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 08.11.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1940 / 96 | Оценка: 4.27 / 4.09 | Длительность: 12:16:00
Специальности: Программист
Лекция 10:

Производящие функции и рекуррентные соотношения

< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >

Производящие функции и рекуррентные соотношения

Теория производящих функций тесно связана с рекуррентными соотношениями. Вернемся снова к делению многочленов. Пусть функции f(x) и \varphi (x) разложены в степенные ряды,

f\left( x \right) = a_0  + a_1 x + \ldots a_n x^n  + \ldots
\varphi (x) = b_0  + b_1 x + \ldots b_n x^n \ldots
- два многочлена, причем b_0  \ne 0. Мы будем, кроме того, предполагать, что n < m, то есть, что алгебраическая дробь \frac{{f(x)}}{{\varphi (x)}} правильна (в противном случае мы всегда можем выделить из нее целую часть). Мы знаем, что если
\frac{{f(x)}} {{\varphi (x)}} = c_0  + c_{1x} x + \ldots  + c_k x^k  + \ldots, ( 10.10)
то
a_0  + a_1 x + \ldots  + a_n x^n  =
= (b_0  + b_1 x + \ldots  + b_m x^m )(c_0  + c_1 x + \ldots  + c_k x^k  +
\ldots ).
Раскроем в правой части этого равенства скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа. Сначала мы получим m соотношений такого вида:
\begin{gathered}
b_0 c_0  = a_0,\\
b_0 c_1  + b_1 c_0  = a_1,\\
b_0 c_2  + b_1 c_1  + b_2 c_0  = a_2,\\
.....................\\
b_0 c_{m - 1}  + b_1 c_{m - 2}  + \ldots  + b_{m - 1} c_0  = a_{m - 1}
\end{gathered} ( 10.11)
(если n < m - 1, то мы считаем, что a_{n + 1}  = \ldots 
= a_{m - 1}  = 0 ). А дальше все соотношения имеют один и тот же вид:
b_0 c_{m + k}  + b_1 c_{m + k - 1}  + \ldots  + b_m c_k  = 0
,\quad k = 0,1\ldots. ( 10.12)
(ведь в f(x) нет членов, содержащих x^m,x^{m + 1} и т.д.). Таким образом, коэффициенты c_0,c_1,\ldots,c_k,\ldots ряда (10.10) удовлетворяют рекуррентному соотношению (10.12). Коэффициенты этого соотношения зависят лишь от знаменателя дроби. Числитель же дроби нужен для нахождения первых членов c_0,c_1,\ldots,c_{m-1} рекуррентной последовательности.

Обратно, если дано рекуррентное соотношение (10.12) и заданы члены c_0,c_1,\ldots,c_{m-1}, то мы сначала по формулам (10.11) вычислим значения a_0,\ldots,a_{m - 1}. А тогда производящей функцией для последовательности чисел c_0,c_1,\ldots,c_k,\ldots является алгебраическая дробь

\frac{{f(x)}} {{\varphi (x)}} = \frac{{a_0  + ax + \ldots  + a_{m - 1} x^{m - 1} }}
{{b_0  + b_1 x + \ldots  + b_m x^m }}. ( 10.13)
На первый взгляд кажется, что мы мало выиграли при замене рекуррентного соотношения производящей функции. Ведь все равно придется делить числитель на знаменатель, а это приведет к тому же самому рекуррентному соотношению (10.12). Но дело в том, что над дробью (10.13) можно выполнять некоторые алгебраические преобразования, а это облегчит отыскание чисел c_k.

Об едином нелинейном рекуррентном соотношении

При решении задачи о разбиении последовательности мы пришли к рекуррентному соотношению

T_n  = T_0 T_{n - 1}  + T_1 T_{n - 2}  + \ldots  + T_{n - 1} T_0, ( 10.14)
где T_0  = 1.Покажем, как решить соотношение (10.14). Для этого составим производящую функцию.
f(x) = T_0  + T_1 x + T_2^{} x^2  + \ldots  + T_n x^n  + \ldots ( 10.15)
Положим
F(x) \equiv xf(x) = T_0 x + T_1 x^2  + \ldots  + T_n x^{n + 1}  + \ldots ( 10.16)
и возведем F(x) в квадрат. Мы получим, что
F^2 (x) = T_0^2  + (T_0 T_1  + T_1 T_0 )x^3  + \ldots
...+ (T_0 T_{n - 1}  + \ldots  + T_{n - 1} T_0 )x^{n + 1}  + \ldots

Но по рекуррентному соотношению (10.14),

T_0 T_{n - 1}  + \ldots  + T_{n - 1} T_0  = T_n.
Значит,
F^2 (x) = T_1 x^2  + T_2 x^3  + \ldots  + T_n x^{n + 1}.
Полученный ряд есть не что иное, как F(x) - T_0 x ; поскольку T_0  = 1, он равен
F^2 (x) = F(x) - x.
Для функции F(x) получилось квадратное уравнение (10.17). Решая его, находим, что
F(x) = \frac{{1 - \sqrt {1 - 4x} }}{2}.
Мы выбрали перед корнем знак минус, так как в противном случае при x =0 мы имели бы F(0) = 2, а из разложения (10.16) видно, что F(0) = 0.

< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >