Производящие функции и рекуррентные соотношения

Бином Ньютона

Получим производящую функцию для конечной последовательности чисел . Известно, что

и Эти равенства являются частными случаями более общей формулы, дающей разложение для . Запишем в виде Раскроем скобки в правой части этого равенства, причем будем записывать все множители в том порядке, в котором они нам встретятся. Например, запишем в виде а - в виде Видно, что в формулу (10.5) входят все размещения с повторениями, составленные из букв и по две буквы в каждом размещении, а в формулу (10.6) - размещения с повторениями из тех же букв, но состоящие из трех букв каждое. То же самое и в общем случае — после раскрытия скобок в формуле (10.4) мы получим всевозможные размещения с повторениями букв и , состоящие из элементов. Приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв (тогда и букв в них будет поровну). Найдем, сколько будет членов, в которые входит букв и, следовательно, букв . Эти члены являются перестановками с повторениями, составленными из букв и букв . Поэтому их число равно Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов выражение войдет с коэффициентом . Итак, мы доказали, что Равенство (10.7) принято называть формулой бинома Ньютона. Если положить в этом равенстве , то получим Мы видим, что является производящей функцией для чисел , . С помощью этой производящей функции можно сравнительно просто доказать многие свойства чисел .

Ряд Ньютона

Мы назвали, как это обычно делают, формулу биномом Ньютона. Это наименование с точки зрения истории математики неверно. Формулу для хорошо знали среднеазиатские математики Омар Хайям, Гиясэдди и другие. В Западной Европе задолго до Ньютона она была известна Блэзу Паскалю. Заслуга же Ньютона была в ином - ему удалось обобщить формулу на случай нецелых показателей. Именно, он доказал, что если - положительное число и , то для любого действительного значения имеет место равенство

Только теперь получилось не конечное число слагаемых, а бесконечный ряд. В случае, когда - натуральное число, обращается в нуль. Но эта скобка входит в коэффициент всех членов, начиная с -го, и потому все эти члены разложения равны нулю. Поэтому при натуральном ряд (10.9) превращается в конечную сумму.