Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 08.11.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1941 / 96 | Оценка: 4.27 / 4.09 | Длительность: 12:16:00
Специальности: Программист
Лекция 9:

Комбинаторика и ряды

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >

Действия над степенными рядами

Перейдем теперь к действиям над степенными рядами. Пусть функции f(x) и \varphi (x) разложены в степенные ряды

f\left( x \right) = a_0  + a_1 x + \ldots a_n x^n  + \ldots ( 9.12)
\varphi (x) = b_0  + b_1 x + \ldots b_n x^n \ldots ( 9.13)
Тогда
f(x) + \varphi (x) =  (a_0  + a_1 x + \ldots a_n x^n  + \ldots )+(b_0  + b_1 x
+ \ldots b_n x^n \ldots ).
Оказывается, что слагаемые в правой части равенства можно переставить и сгруппировать вместе члены с одинаковыми степенями x. Это утверждение совсем не так очевидно, как кажется на первый взгляд. Ведь в правой части равенства у нас бесконечные суммы, а в бесконечных суммах переставлять слагаемые можно далеко не всегда. После этой перегруппировки мы получим
f(x) + \varphi (x) = (a_0  + b_0 ) + (a_1  + b_1 )x + \ldots  + (a_n  + b_n
)x^n  + \ldots ( 9.14)
Ряд, стоящий в правой части равенства (9.14), называется суммой степенных рядов (9.12) и (9.13).

Посмотрим теперь, как разлагается в степенной ряд произведение функций f(x) и \varphi (x). Мы имеем

f(x)\varphi (x) = (a_0  + a_1 x + \ldots a_n x^n  + \ldots ) \times (b_0  +
b_1 x + \ldots b_n x^n \ldots ). ( 9.15)
Оказывается, что как и в случае многочленов, ряды, стоящие в правой части равенства (9.15), можно почленно перемножать. Мы опускаем доказательство этого утверждения. Найдем ряд, получающийся после почленного перемножения. Свободный член этого ряда равен a_0 b_0. Члены, содержащие x, получатся дважды: при умножении a_0 на b_1 x и при умножении a_1^{} x на b_0. Они дают
a_0^{} b_1 x + a_1 b_0 x = (a_0 b_1  + a_1 b_0 )x.
Точно так же вычисляются члены, содержащие x^2. Таким образом,
f(x)\varphi (x) =
a_0 b_0  + (a_0 b_1  + a_1 b_0 )x + \ldots  + (a_0 b_n  + \ldots  + a_n b_0
)x^n  + \ldots ( 9.16)
Ряд, стоящий в правой части равенства (9.16), называется произведением рядов (9.12) и (9.13).

В частности, возводя ряд (9.12) в квадрат, получаем

f^2 (x) = a_0^2  + 2a_0^{} a_1 x + (a_1^2  + 2a_0 a_2 )x^2  + 2(a_0 a_3^{}  +
a_1 a_2 )x^3 + \ldots ( 9.17)

Посмотрим теперь, как делят друг на друга степенные ряды. Пусть свободный член ряда (9.13) отличен от нуля. Покажем, что в этом случае существует такой степенной ряд

c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n+\ldots, ( 9.18)
что
(b_0  + b_1 x + \ldots  + b_n x^n  + \ldots ) \times (c_0^{}  + c_1 x + \ldots
 + c_n x^n  + \ldots ) =\\= a_0  + a_1 x + \ldots  + a_n x^n  + \ldots ( 9.19)
Для доказательства перемножим ряды в левой части этого равенства. Мы получим ряд
b_0 c_0  + (b_0 c_1  + b_1 c_0 )x + \ldots  + (b_0 c_n  + \ldots  + b_n c_0
)x^n  + \ldots

Для того чтобы этот ряд совпадал с рядом (9.12), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

b_0 c_0  = a_{\begin{subarray}{l}
  0 \\
\end{subarray}},
b_0 c_1  + b_1 c_0  = a_1,
..........
b_0 c_n  + \ldots  + b_n c_0  = a_n,
..........
Эти равенства дают бесконечную систему уравнений для отыскания коэффициентов Из первого уравнения системы получаем c_0  = \frac{{a_0 }}
{{b_0 }}. Подставим полученное значение во второе уравнение. Мы получим уравнение
b_0 c_1  = a_1  - \frac{{b_1 a_0 }}{{b_0 }},
из которого находим, что c_1  = \frac{{a_1 b_0  - b_1 a_0 }}
{{b_0^2 }}. Вообще, если уже найдены коэффициенты c_0,\ldots,c_{n
- 1}, то для отыскания c_n имеем уравнение
b_0 c_n  = a_n  - b_1 c_{n - 1}  - \ldots  - b_n c_0.
Это уравнение разрешимо, поскольку b_0  \ne 0.Итак, мы доказали существование ряда (9.18), удовлетворяющего соотношению (9.19). Ряд (9.18) называют частным при делении рядов (9.12) и (9.13). Можно доказать, что он получается при разложении функции f(x)/\varphi
(x). Таким образом, степенные ряды можно складывать, умножать и делить (последнее - при условии, что свободный член делителя отличается от нуля). Эти действия соответствуют действиям над разлагаемыми функциями.

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >