Последовательности (множества и мультимножества)

Решето Эратосфена

Одной из самых больших загадок математики является расположение простых чисел в ряду всех натуральных чисел. Иногда два простых числа идут через одно, (например, 17 и 19, 29 и 31), а иногда подряд идет миллион составных чисел. Сейчас ученые знают уже довольно много о том, сколько простых чисел содержится среди первых натуральных чисел. В этих подсчетах весьма полезным оказался метод, восходящий еще к древнегреческому ученому Эратосфену. Он жил в третьем веке до новой эры в Александрии.

Эратосфен занимался самыми различными вопросами - ему принадлежат интересные исследования в области математики, астрономии и других наук. Впрочем, такая разносторонность привела его к некоторой поверхностности. Современники несколько иронически называли Эратосфена "во всем второй": второй математик после Евклида, второй астроном после Гиппарха и т.д.

В математике Эратосфена интересовал как раз вопрос о том, как найти все простые числа среди натуральных чисел от 1 до . (Эратосфен считал 1 простым числом. Сейчас математики считают 1 числом особого вида, которое не относится ни к простым, ни к составным числам.) Он придумал для этого следующий способ. Сначала вычеркивают все числа, делящиеся на 2 (исключая само число 2). Потом берут первое из оставшихся чисел (а именно 3). Ясно, что это число - простое. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 3. Первым оставшимся числом будет 5. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 5, и т.д. Числа, которые уцелеют после всех вычеркиваний, и являются простыми. Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а "выкалывали" цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название "решето Эратосфена".

Подсчитаем, сколько останется чисел в первой сотне, если мы вычеркнем по методу Эратосфена числа, делящиеся на 2, 3 и 5. Иными словами, поставим такой вопрос: сколько чисел в первой сотне не делится ни на одно из чисел 2, 3, 5? Эта задача решается по формуле включения и исключения.

Обозначим через свойство числа делиться на 2, через - свойство делимости на 3 и через - свойство делимости на 5. Тогда означает, что число делится на 6, означает, что оно делится на 10, и - оно делится на 15. Наконец, означает, что число делится на 30. Надо найти, сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, то есть не обладает ни одним из свойств , , . По формуле 6.3 имеем

А из первой тысячи после первых трех шагов процесса Эратосфена останется 335 чисел. Это следует из того, что в этом случае

Примеры программы

Программа 1. Решето Эратосфена.

{В примере, иллюстрирующем работу с множествами,  реализуется алгоритм
выделения из первой сотни натуральных чисел всех простых чисел. В основе
алгоритма лежит прием "решета Эратосфена".
Алгоритм  написан на языке программирования  Turbo-Pascal.}

Uses crt;
Const
    N=100; {количество элементов исходного множества}
Type
    SetN=set of 1..N;
var
    n1, next, I : word; {вспомогательные переменные }
    BeginSet,              {исходное множество }
    PrimerSet: SetN;   {множество простых чисел }
Begin
    Clrscr;   {почистить экран}
    BeginSet:=[2..N]; {создать исходное множество}
    PrimerSet:=[1];     {первое простое число}
    next:=2;                {следующее простое число}
while BeginSet <> [ ] do  {начало основного цикла}
    begin
        n1:=next; {n1-число, кратное очередному простому (next)}
        while n1<=N do
        {цикл удаления из исходного множества непростых чисел}
        begin
            BeginSet:=BeginSet-[n1];
            n1:=n1+next {следующее кратное}
            end;               {конец цикла удаления}
repeat    {получить следующее простое число, которое есть первое
           не вычеркнутое из исходного множества}
inc(next)
until(next  in  BeginSet) or (next > N)
end;  {конец основного цикла}
{вывод результата}
textcolor(15);  {задание цвета}
for I:=1 to N do
    if i in PrimerSet then write(I:8);
    readln;
end.

Программа 2. Простые числа в порядке убывания от 200.

{Находит и пишет все простые числа в порядке убывания от 2 до 200.
Алгоритм  написан на языке программирования   Turbo-Pascal.}

Uses crt;
const
n=197;
var

i,q,w,e,r,t:integer;
prost:array[1..n] of integer;

begin
clrscr;
e:=1;
r:=0;
for q:=1 to n do begin
r:=0;
for w:=2 to n-1 do
if (q<>w) and (q mod w =  0) then r:=1;
{prost[e]:=q; e:=e+1;}

if r=0 then begin{begin write(q,' ');}

prost[e]:=q;
e:=e+1;
end;
end;

for i:=e downto 2 do  begin
write (prost[i],' ');
if wherex>70 then writeln;

end;
readln;
end.

Программа 3. Поиск литер в строке.

{Поиск числа вхождений в данную сроку литер a, c, e, h.
Алгоритм  написан на языке программирования  Turbo-Pascal.}

Uses crt;
type
liter_set = set of char;

var
c:integer;
let: liter_set;
a:char;

begin
 clrscr;
 let:=['a','c','e','h'];

repeat
  a:=readkey;
  write(a);
  if a in let then c:=c+1;
 until a = '.';
 writeln;
 writeln('Общее число вхожений литер a,c,e,h в вашу запись:',c);
readln;

end.