Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2924 / 469 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 5:

Гамильтоновы графы

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >

Теорема Дирака

Поиск необходимого и достаточного условия для того, чтобы граф был гамильтоновым, стал одной из главных нерешенных задач теории графов! О гамильтоновых графах, в сущности, известно очень мало. Большинство известных теорем имеет вид "если граф G имеет достаточное число ребер, то граф G является гамильтоновым графом". Вероятно, самой знаменитой из этих теорем является следующая теорема, принадлежащая Г.Э.Дираку и потому известная как теорема Дирака.

Теорема (Дирак, 1952) Если в простом графе с n\ge 3 вершинами \rho (v)\ge
n/2 для любой вершины v, то граф G является гамильтоновым.

Замечание Существует несколько доказательств этой широко известной теоремы, здесь мы приводим доказательство Д.Дж.Ньюмана.

Доказательство Добавим к нашему графу k новых вершин, соединяя каждую из них с каждой вершиной из G. Будем предполагать, что k — наименьшее число вершин, необходимых для того, чтобы полученный граф G' стал гамильтоновым. Затем, считая, что k\succ 0, придем к противоречию.

Пусть v\to p\to w\to \ldots \to v гамильтонов цикл в графе G', где v,w — вершины из G, а p — одна из новых вершин. Тогда w не является смежной с v, так как в противном случае мы могли бы не использовать вершину p, что противоречит минимальности k. Более того, вершина, скажем, w', смежная вершине w, не может непосредственно следовать за вершиной v', смежной вершине v, потому что тогда мы могли бы заменить v\to p\to w\to \ldots \to v' \to w' \to \ldots
\to v на v\to v' \to \ldots \to w\to w' \to \ldots \to v, перевернув часть цикла, заключенную между w и v'. Отсюда следует, что число вершин графа G', не являющихся смежными с w, не меньше числа вершин, смежных с v (то есть равно, по меньшей мере, n/2+k ); с другой стороны, очевидно, что число вершин графа G', смежных с w, тоже равно, по меньшей мере, n/2+k. А так как ни одна вершина графа G' не может быть одновременно смежной и не смежной вершине w, то общее число вершин графа G', равное n+k, не меньше, чем n+2k. Это и есть искомое противоречие.

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Константин Дементьев
Константин Дементьев
Россия, г. Мичуринск