Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3055 / 533 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 4:

Эйлеровы графы

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >

Теорема 4.3. Если граф G обладает эйлеровым путем с концами v_{a} и v_{b} (v_{a} не совпадает с v_{b}), то граф G является связным, и v_{a} и v_{b} — единственные нечетные его вершины.

Доказательство Связность графа следует из определения эйлерова пути. Если путь начинается в v_{a}, а заканчивается в другой вершине v_{b}, то v_{a} и v_{b} — нечетные, даже если путь неоднократно проходил через v_{a} и v_{b}. В любую другую вершину графа путь должен был привести и вывести из нее, то есть все остальные вершины должны быть четными.

Верно и обратное.

Теорема 4.4. Если граф G связный и v_{a} и v_{b} единственные нечетные вершины его, то граф G обладает эйлеровым путем с концами v_{a} и v_{b}.

Доказательство Вершины v_{a} и v_{b} могут быть соединены ребрами в графе.

Пример.


А могут быть и не соединены.


Если v_{a} и v_{b} соединены ребром, то удалим его. Тогда все вершины станут четными. Новый граф, согласно предыдущей теореме, обладает эйлеровым циклом, началом и концом которого может служить любая вершина. Начнем эйлеров путь в вершине v_{a} и закончим его в вершине v_{a}. Добавим ребро ( v_{a}\,v_{b} ) и получим эйлеров путь с началом в v_{a} и концом в v_{b}.

Если v_{a} и v_{b} не соединены ребром, то к графу добавим новое ребро ( v_{a}, v_{b} ), тогда все вершины его станут четными. Новый граф, согласно предыдущей теореме, обладает эйлеровым циклом. Начнем его из вершины v_{a} по ребру ( v_{a}, v_{b} ). Закончится путь тоже в вершине v_{a}. Если теперь удалить из полученного цикла ребро ( v_{a}, v_{b} ), то останется эйлеров путь с началом в v_{b} и концом в v_{a} или с началом в v_{a} и концом в v_{b}.

Таким образом, всякую замкнутую фигуру, имеющую в точности две нечетные вершины, можно начертить одним росчерком без повторений, начав в одной из нечетных вершин, а закончив в другой.

Теорема 4.5. Если связный граф G имеет 2k нечетных вершин, то найдется семейство из k путей, которые в совокупности содержат все ребра графа в точности по одному разу.

Доказательство

Половину нечетных вершин обозначим v_{1}, v_{2}\dts v_{k}, а другую половину — w_{1}, w_{2}\dts w_{k}.

Пример.


Если вершины v_{i},w_{i} (1\le i\le k) соединены ребром, то удалим из графа G ребро ( v_{i},w_{i} ). Если вершины v_{i}, w_{i} не соединены ребром, то добавим к G ребро ( v_{i},w_{i} ). Все вершины нового графа будут четными, то есть в новом графе найдется эйлеров цикл. При восстановлении графа G цикл разобьется на k отдельных путей, содержащих все ребра графа.

Эйлеровым графом может быть план выставки. Это позволяет так расставить указатели маршрута, чтобы посетитель смог пройти по каждому залу в точности по одному разу.

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Никита Толышев
Никита Толышев
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!