НОУ ИНТУИТ | Введение в геометрическое программирование. Лекция 5: Задача ГП с ограничениями

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Санкт-Петербургский государственный университет

Опубликован: 08.06.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 663 / 131 | Оценка: 4.65 / 4.35 | Длительность: 07:44:00

Специальности: Программист

Теги: beta, базисными векторами, безопасность, вычисления, двойственная задача, задача линейного программирования, книги, линейное программирование, модель задач, обобщенный полином, оптимальное решение задачи, поддержка, программирование, рабочая книга, свойства множества, теория, форматы, число независимости

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Двойственная задача

Как и в случае задачи ГП без ограничений, задаче ГП с ограничениями можно сопоставить двойственную задачу. При некоторых предположениях о свойствах прямой и двойственных задач оптимальные значения их целевых функций равны. Это дает возможность получить решение прямой задачи, решив двойственную задачу.

Двойственная задача к задаче GP (задача DGP ) имеет вид:

$\mbox{ Задача DGP:} \qquad v(l,w)=\Bigl(\prod\limits_{i=1}^{n}(c_{i}/w_{i}) ^{w_{i}}\Bigl)\Bigl(\prod\limits_{k=1}^{p}{l_{k}(w)}^{l_{k}(w)}\Bigl)\rightarrow\max$

( 65)

при ограничениях:

$l_{k}(w) = \sum\limits_{i\in [k]}w_{i},\quad k=\overline{0,p},$

( 66)

$l_{0}(w) =1,$

( 67)

$\sum\limits_{i=1}^{n}w_{i}a_{ij}=0, \quad j=\overline{1, m},$

( 68)

$w_{i},\ l_{k} \geq 0,\ k=\overline{0,p},\ i=\overline{1,n}.$

Ограничение (67) называется условием нормальности, ограничения (68) - условиями ортогональности. Для функции v(l,w) полагаем, что $y^y = y^{-y} = 1$ для y = 0 .

Пример 34 Запишем двойственную задачу для задачи ГП из примера 31.

Определим двойственную функцию (65) для задачи ГП. Поскольку в задаче пять мономов, следовательно, двойственная функция имеет пять переменных. Вектор коэффициентов задачи c =
(40, 20, 20, 1/3, 4/3) , $l_{1}(w) = w_4 + w_5$ . Следовательно, двойственная функция для задачи ГП имеет вид:

$v(w) = \left(\frac{40}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{20}{w_2}\right)^{w_2} \left(\frac{20}{w_3}\right)^{w_3}\left(\frac{1/3}{w_4}\right)^{w_4}\left(\frac{4/3}{w_5}\right)^{w_5} (w_4 + w_5)^{(w_4 + w_5)}.$

Запишем теперь условия ортогональности (68). Поскольку в прямую задачу входят три переменные $x_1,\ x_2,\ x_3$ , то условия ортогональности состоят из трех равенств. В каждом равенстве пять слагаемых, поскольку в задаче пять мономов. Матрица экспонент задчи

$A=\left\| \begin{array}{rlr} -1 & -0.5 & -1 \\ 1 & \phantom{-}0 & 1 \\ 1 & \phantom{-}1 & 1 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & \phantom{-}0.5 & -1 \end{array} \right\|,$

где -й столбец образован показателями степеней при -й переменной (j=1, 2, 3) . По формуле (68) условия ортогональности для задачи ГП имеют вид:

$\begin{array}{rcrcrcrcrcr} -w_1&+&w_2&+&w_3&-&2 w_4&&&=&0, \\ -0.5 w_1&&&+&w_3&-&2 w_4&+&0.5 w_5&=&0, \\ -w_1&+&w_2&+&w_3&&&-&w_5&=&0. \end{array}$

Запишем условие нормальности. Поскольку позином $g_{0}(x)$ состоит из трех мономов, то в условие нормальности входят три слагаемых. Согласно формуле (67) условие нормальности имеет вид:

Таким образом, двойственная задача имеет вид:

$v(w) = \left(\frac{40}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{20}{w_2}\right)^{w_2} \left(\frac{20}{w_3}\right)^{w_3}\left(\frac{1/3}{w_4}\right)^{w_4}\left(\frac{4/3}{w_5}\right)^{w_5} (w_4 + w_5)^{(w_4 + w_5)}\rightarrow\max,$

при ограничениях

$\begin{array}{rcrcrcrcrcr} -w_1&+&w_2&+&w_3&-&2 w_4&&&=&0, \\ -0.5 w_1&&&+&w_3&-&2 w_4&+&0.5 w_5&=&0, \\ -w_1&+&w_2&+&w_3&&&-&w_5&=&0, \\ w_1&+&w_2&+&w_3&&&&&=&1, \end{array}$

$w_{i}\geq 0,\ i=\overline{1,5}.$

Прежде чем показать, как связаны между собой решения задач GP и DGP, введем следующие определения.

Задача GP называется совместной, если существует по крайней мере один положительный вектор , удовлетворяющий ее ограничениям.

Задача DGP называется совместной, если существует по крайней мере один неотрицательный вектор , удовлетворяющий ее ограничениям.

Методы решения для задачи ГП с ограничениями базируются на теоремах, отражающих связь между прямой и двойственной задачами. Приведем формулировки двух основных теорем. Их доказательства можно найти, например, в [5].

Теорема 9 Если пара векторов являются допустимыми решениями задач GP и DGP соответственно, то выполняется неравенство

$g_{0}(x)\geq v(w).$

Равенство

$g_{0}(x)= v(w)$

достигается тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

$g_{0}(x) w_{i}= c_i\prod\limits_{j=1}^{m}{x_j}^{a_{ij}},\ i\in [0],$

$w_{i}=l_{k}(w) c_i\prod\limits_{j=1}^{m}{x_j}^{a_{ij}},\ i\in [k],\ k=\overline{1,p}.$

В следующей теореме сформулированы достаточные условия существования оптимального решения задачи GP.

Теорема 10 Если задача GP совместна и существует допустимое решение двойственной задачи DGP, то существует вектор , который является оптимальным решением задачи GP.

Связь между ГП и выпуклым программированием

Прежде чем показать, какая связь существует между ГП и выпуклым программированием, напомним определения выпуклого множества, выпуклой функции и задачи выпуклого программирования.

Множество точек $S\subset E_N$ называется выпуклым, если для любых двух точек и из соединяющий их отрезок содержится в .

Функция , определенная на выпуклом множестве $S\subset E_N$ , называется выпуклой, если для любых двух точек и из выполняется неравенство

$f(\alpha_{1}x + \alpha_{2}y)\leq \alpha_{1}f(x) + \alpha_{2}f(y),$

где $\alpha_{1},\ \alpha_2 \geq 0$ , $\alpha_{1}+\alpha_{2}=1$ .

Задача выпуклого программирования заключается в минимизации выпуклой функции на выпуклом множестве , которое содержится в области определения функции : $\min\limits_{S}f$ .

Одно из важных свойств выпуклого программирования состоит в том, что локальный минимум целевой функции является глобальным минимумом.

Покажем теперь, что при помощи монотонной замены переменных задачу ГП можно заменить эквивалентной задачей выпуклого программирования.

Выполним следующую замену переменных:

$x_{j} = e^{z_j},\ j=\overline{1,m}.$

Для записи результатов подстановки мы будем использовать другое обозначение: $x_{j} = \exp(z_j)$ , более удобное, когда степень экспоненты является сложным выражением. Выполнив замену, получим положительные показательные функции вида

$f_k(z)=g_{k}(e^{z_1}, \dots, e^{z_m}) = \sum\limits_{i\in [k]}c_{i}\exp\left(\sum\limits_{j=1}^{m}a_{ij}z_{j}\right),\ k=\overline{0,p}.$

Заметим, что переменные $z_j \in \mathbb{R}$ , тогда как переменные x_j>0 .

Таким образом, получим следующую задачу, которую мы будем называть преобразованная задача :

$f_{0}(z)\rightarrow\min$

при ограничениях

$f_k(z)\leq 1,\ k=\overline{1,p},$

где

$f_k(z) = \sum\limits_{i\in[k]}c_{i}\exp\left(\sum\limits_{j=1}^{m}a_{ij}z_{j}\right), \ k=\overline{0,p},\ c_i>0,\ a_{ij}\in \mathbb{R},\ z_j\in\mathbb{R}.$

Пример 35 Запишем ГП из примера 31 в виде преобразованной задачи ГП.

Вектор коэффициентов целевой функции g_0 равен

$c_{[0]} = (40, 20, 20),$

матрица экспонент целевой функции $g_{0}$ равна

$A_{[0]}=\left\| \begin{array}{rlr} -1 & -0.5 & -1 \\ 1 & \phantom{-}0 & 1 \\ 1 & \phantom{-}1 & 1 \end{array} \right\|,$

следовательно, преобразованная целевая функция имеет вид

$f_{0}(z) = 40 \exp(-z_1-0.5z_2-z_3) + 20 \exp(z_1+z_3)+20 \exp(z_1 + z_2 + z_3).$

Вектор коэффициентов ограничения g_1 равен

$c_{[1]} = (1/3, 4/3),$

матрица экспонент ограничения $g_{1}$ равна

$A_{[1]}=\left\| \begin{array}{rlr} -2 & -2 & 0 \\ 0 & \phantom{-}0.5 & -1 \end{array} \right\|,$

следовательно, преобразованное ограничение имеет вид

$f_{1}(z) = 1/3 \exp(-2z_1-2z_2) + 4/3 \exp(0.5z_2 - z_3)\leq 1.$

Таким образом, преобразованная задача имеет вид:

$f_{0}(z) = 40 \exp(-z_1-0.5z_2-z_3) + 20 \exp(z_1+z_3)+20 \exp(z_1 + z_2 + z_3)\rightarrow\min$

при ограничении

$f_{1}(z) = 1/3 \exp(-2z_1-2z_2) + 4/3 \exp(0.5z_2 - z_3)\leq 1.$

Сформулируем основное свойство преобразованной задачи GP_z в виде теоремы, доказательство которой можно найти, например, в [5].

Теорема 11 Преобразованная задача является выпуклой задачей. Все положительные показательные функции $f_{k}(z)$ выпуклы.

Из теоремы следует, что для решения задач ГП можно использовать методы, разработанные специально для решения задач выпуклого программирования, предварительно преобразовав задачу ГП в задачу вида GP_z .

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в геометрическое программирование

Задача ГП с ограничениями

Двойственная задача

Связь между ГП и выпуклым программированием

Вопросы и ответы