Обработка исключений

Самостоятельная работа

Теоретический материал

Вычисление конечных сумм и произведений

Решение многих задач связано с нахождением суммы или произведения элементов заданной последовательности. В данном разделе мы рассмотрим основные приемы вычисления конечных сумм и произведений.

Пусть - произвольная последовательность n функций. Будем рассматривать конечную сумму вида . Такую сумму можно записать более компактно, используя следующее обозначение: . При значение суммы равно 0.

В дальнейшем будем также использовать сокращенную запись для конечного произведения данной последовательности, которая выглядит следующим образом: .

1. Написать программу, которая подсчитывает сумму натуральных чисел от до ( ).
   Указания по решению задачи. Пусть - сумма натуральных чисел от до . Тогда . Мы пришли к рекуррентному соотношению , которым мы можем воспользоваться для подсчета суммы. Соотношение говорит о том, что сумма на -ном шаге равна сумме, полученной на предыдущем шаге, плюс очередное слагаемое.

   static void Main()
   {
    Console.Write("Ввведите значение n: ");
    int n=int.Parse(Console.ReadLine());
    int s=0;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
     s+=i;
    Console.WriteLine("s="+s);
   }
2. Написать программу, которая подсчитывает ! для вещественного и натурального .
   Указание по решению задачи. Из свойства факториала , , . Следовательно, факториал можно вычислять, используя рекуррентное соотношение .

   static void Main()
   {
    Console.Write("Ввведите значение n: ");
    int n=int.Parse(Console.ReadLine());
    int f=1;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    f*=i;
    Console.WriteLine("{0}!={1}", n, f);
   }
3. Написать программу для подсчета суммы , где - вещественное число, - натуральное число.
   Указания по решению задачи. Если пронумеровать слагаемые, начиная с , то мы увидим, что номер слагаемого совпадает со значением знаменателя. Рассмотрим каждый числитель отдельно: Эту последовательность можно представить рекуррентным соотношением (1). Теперь сумму можно представить следующим образом, , а для нее справедливо рекуррентное соотношение , (2). При составлении программы будем использовать формулы (1-2).

   static void Main()
   {
    Console.Write("Ввведите значение n: ");
    int n=int.Parse(Console.ReadLine());
    Console.Write("Ввведите значение x: ");
    double x=double.Parse(Console.ReadLine());
    double b=0, s=0;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
     b+=Math.Cos(i*x);
     s+=b/i;
    }
    Console.WriteLine("s={0:f2}",s);
   }
4. Написать программу для подсчета суммы , где - вещественное число, - натуральное число.
   Указания по решению задачи.Перейдем от сокращенной формы записи к развернутой, получим

   

   Каждое слагаемое формируется по формуле . Если в эту формулу подставить , то получим .

   Чтобы не вводить несколько рекуррентных соотношений (отдельно для числителя, отдельно для знаменателя), представим общий член последовательности слагаемых с помощью рекуррентного соотношением вида , где для нас пока не известно. Найти его можно из выражения . Произведя необходимые расчеты, получим, что . Следовательно, для последовательности слагаемых мы получили рекуррентное соотношение , (3). А всю сумму, по аналогии с предыдущими примерами, можно представить рекуррентным соотношением: , (4). Таким образом, при составлении программы будем пользоваться формулами (3-4).

   using System;
   
   namespace Hello
   {
    class Program
    {
     static void Main()
     {
      Console.Write("Ввведите значение n: ");
      int n=int.Parse(Console.ReadLine());
      Console.Write("Ввведите значение x: ");
      double x=double.Parse(Console.ReadLine());
      double a=-1, s=0;
      for (int i=1; i<=n; ++i)
      {
       a*=-x/i;  s+=a;
      }
      Console.WriteLine("s={0:f2}",s);
     }
    }
   }

Вычисление бесконечных сумм

Будем теперь рассматривать бесконечную сумму вида . Это выражение называется функциональным рядом. При различных значениях из функционального ряда получаются различные числовые ряды . Числовой ряд может быть сходящимся или расходящимся. Совокупность значений , при которой функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Числовой ряд называется сходящимся, если сумма n первых его членов при имеет предел, в противном случае, ряд называется расходящимся. Ряд может сходиться лишь при условии, что общий член ряда при неограниченном увеличении его номера стремится к нулю: . Это необходимый признак сходимости для всякого ряда.

В случае бесконечной суммы будем вычислять ее с заданной точностью . Cчитается, что требуемая точность достигается, если вычислена сумма нескольких первых слагаемых и очередное слагаемое оказалось по модулю меньше чем е, то есть это слагаемое на результат практически не влияет. Тогда его и все последующие слагаемые можно не учитывать.

Пример. Написать программу для подсчета суммы с заданной точностью ( ).

Указание по решению задачи. Рассмотрим, что представляет из себя заданный ряд: . Как видим, общий член ряда с увеличением значения i стремится к нулю. Поэтому данную сумму можно вычислить, но только с определенной точностью . Заметим также, что последовательность слагаемых можно выразить с помощью рекуррентного соотношения , , а всю сумму - с помощью рекуррентного соотношения . (Данные рекуррентные соотношения выведите самостоятельно.)

using System;
namespace Hello
{
 class Program
 {
  static void Main()
  {
   Console.Write("Задайте точность вычислений е: ");
   double e=double.Parse(Console.ReadLine());
   double a=-1, s=0;
   for (int i=2; Math.Abs(a)>=e; ++i)
   {
    s+=a;
    a/=-i;
   }
   Console.WriteLine("s={0:f2}",s);
  }
 }
}

Практическое задание

1. Для заданного натурального и действительного подсчитать следующие суммы:
   1. ;
   2. ;
   3. !;
   4. 
2. Для заданного натурального и действительного подсчитать следующие выражения:
   1. 
   2. 
   3. 
   4. 
3. Вычислить бесконечную сумму ряда с заданной точностью е (e>0).
   • 
   • 
   • 
   • 
4. Вычислить и вывести на экран значение функции на отрезке c шагом с точностью .Результат работы программы представить в виде следующей таблицы: