Множества

Пример. Не помешает иметь предикат, позволяющий проверить, является ли одно множество подмножеством другого. В каком случае одно множество содержится в другом? В случае, если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству. Тот факт, что множество A является подмножеством множества B, обозначается через . В математической записи это выглядит следующим образом: .

Предикат, реализующий данное отношение, будет иметь два параметра, оба входные. В качестве первого параметра будем указывать множество, включение которого мы хотим проверить. То множество, включение в которое первого аргумента нужно проверить, указывается в качестве второго параметра.

Решение, как обычно, будет рекурсивным. Базис рекурсии будет представлен фактом, утверждающим, что пустое множество является подмножеством любого множества. Шаг рекурсии: чтобы одно множество было подмножеством другого, нужно, чтобы его первый элемент принадлежал второму множеству (проверить это нам позволит предикат

member3, рассмотренный нами ранее в седьмой лекции), а его хвост, в свою очередь, должен быть подмножеством второго множества. Этих рассуждений достаточно, чтобы записать предикат, реализующий операцию включения.

subset([],_). /* пустое множество является  
                 подмножеством любого множества */
subset([H|T],S):– /* множество [H|T] является 
                подмножеством множества S */
          member3(H,S), /* если его первый элемент H 
                       принадлежит S */
          subset(T,S). /* и его хвост T является 
                       подмножеством множества S */

Можно также определить это отношение, воспользовавшись уже определенными предикатами union и intersection.

Из математики известно, что . То есть одно множество является подмножеством другого тогда и только тогда, когда их объединение совпадает со вторым множеством. Или, аналогично, . То есть одно множество является подмножеством другого тогда и только тогда, когда их пересечение совпадает с первым множеством.

Запишем эти математические соотношения на Прологе.

subsetU(A,B):–
        union(A,B,B). /* объединение множеств 
            совпадает со вторым множеством */
subsetI(A,B):–
        intersection(A,B,A). 
                  /* пересечение множеств 
                    совпадает с первым множеством*/

Проверка на примерах показывает, что оба предиката, как и ранее созданный предикат subset, возвращают именно те результаты, какие и должны возвращать.

Используя только что написанный предикат, реализующий отношение включения множеств, можно создать предикат, осуществляющий проверку совпадения двух множеств. Напомним, что два множества A и B называются равными, если одновременно выполнено и , т.е. множество A содержится во множестве B и множество B содержится во множестве A. Другими словами, два множества равны, если все элементы первого множества содержатся во втором множестве, и наоборот. Отсюда следует, что эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Напишем предикат, реализующий отношение равенства двух множеств.

equal(A,B):–   /* множество A совпадает 
                        со множеством B, */
        subset(A,B), /* если множество A содержится 
                    во множестве B */ 
        subset(B,A). /* и множество B является 
                    подмножеством множества A*/

Убедимся, что множество [1,2,3] и множество [3,4,5] не равны, а множества [1,2,3] и [2,1,3] совпадают.

Если множество A содержится во множестве B, причем во множестве В имеются элементы, не принадлежащие множеству А, то говорят, что А — собственное подмножество множества В. Обозначается этот факт как .

Закодируем это отношение:

Prop_subset(A,B):–
          subset(A,B), 
          /* множество A содержится 
                     во множестве B */
          not(equal(A,B)). 
          /* множества A и B не совпадают*/

Проверим, что множество [1,3] является собственным подмножеством множества [1,2,3], в отличие от множеств [1,4] и [2,1,3].

Пример. Рассмотрим еще одну операцию на множествах. Она называется симметрическая разность и, как видно из ее названия, в отличие от обычной разности, не зависит от порядка ее аргументов. Симметрической разностью двух множеств называется множество, чьи элементы либо принадлежат первому и не принадлежат второму множеству, либо принадлежат второму и не принадлежат первому множеству. Она не столь известна, как предыдущие рассмотренные нами операции, однако тоже имеет право на существование. Обозначается симметрическая разность множеств A и B через . В математических обозначениях это выглядит следующим образом: . В отличие от обычной разности, в симметрической разности, если поменять аргументы местами, результат останется неизменным ( ).

Рис. 9.5. Симметрическая разность множеств А и В

Например, при A={1,2,3,4}, B={3,4,5}, .

Воспользуемся тем, что симметрическую разность можно выразить через уже реализованные нами операции. А именно, . Словесно эта формула читается так: симметрическая разность двух множеств есть разность первого и второго множеств, объединенная с разностью второго и первого множеств.

Запишем это на Прологе:

Sim_minus(A,B,SM):–
          minus(A,B,A_B), /* A_B — это разность 
                         множеств A и B */
          minus(B,A,B_A), /* B_A — это разность 
                         множеств B и A */
          union(A_B,B_A,SM). /* SM — это объединение 
                           множеств A_B и B_A */

Убедимся, что симметрическая разность множеств [1,2,3,4] и [3,4,5] равна множеству [1,2,5], а симметрическая разность множеств [3,4,5] и [1,2,3,4] равна множеству [5,1,2]. Множество [1,2,5] с точностью до порядка элементов совпадает с множеством [5,1,2]. Таким образом, мы выяснили, что результат не зависит от порядка аргументов.

Пример. Еще одна операция, которую обычно используют при работе со множествами, это дополнение. Дополнением множества обычно называется множество, чьи элементы не принадлежат исходному множеству. Обозначается дополнение множества A через A. В математических обозначениях это выглядит следующим образом: . Обычно имеет смысл говорить о дополнении только в ситуации, когда имеется некоторое универсальное множество, т.е. множество, которому принадлежат все рассматриваемые элементы. Оно может зависеть от решаемой задачи. Например, в качестве такого множества может выступать множество натуральных чисел, множество русских букв, множество символов, обозначающих арифметические действия и т.д.

Давайте, для определенности, возьмем в качестве универсального множества множество цифр ( {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ). Напишем дополнение над этим универсальным множеством.

Воспользуемся при этом очередным тождеством, которое известно в математике. А именно, тем, что A=U\A, где символ U обозначает универсальное множество. Операция разности двух множеств у нас уже реализована.

Закодируем вышеприведенную формулу на Прологе.

supp(A,D):–
      U=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9],
      minus(U,A,D). /* D — это разность  
                универсального множества U
                и множества A */

Проверяем, что дополнение множества [1,2,3,4] равно множеству [0,5,6,7,8,9].

Имея дополнение, можно выразить операцию объединения через пересечение и дополнение, или, наоборот, операцию пересечения через объединение и дополнение, используя законы де Моргана ( и ).

Запишем эти соотношения на Прологе.

unionI(A,B,AB):–
        supp(A,A_), /* A_ — это дополнение 
                    множества A */
        supp(B,B_), /* B_ — это дополнение 
                    множества B */
        intersection(A_,B_,A_B), 
                 /* A_B — это пересечение 
                 множеств A_ и B_ */
        supp(A_B,AB). /* AB — это дополнение 
                     множества A_B */
intersectionU(A,B,AB):–
        supp(A,A_), /* A_ — это дополнение 
                   множества A */
        supp(B,B_), /* B_ — это дополнение 
                    множества B */
        union(A_,B_,A_B), /* A_B — это объединение 
                        множеств A_ и B_ */
        supp(A_B,AB). /* AB — это дополнение 
                     множества A_B */

Проверка на примерах показывает, что оба предиката работают на множествах, являющихся подмножествами универсального множества (в нашем примере это множество {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ), как и ранее созданные предикаты union и intersection.