Множества

Пример. Теперь можно приступить к реализации операции пересечения двух множеств. Напомним, что пересечение двух множеств — это множество, образованное элементами, которые одновременно принадлежат и первому, и второму множествам. Обозначается пересечение множеств A и B через . В математических обозначениях это выглядит следующим образом: . На рисунке пересечение множеств A и B обозначено штриховкой.

Рис. 9.2. Пересечение множеств A и B

У предиката, реализующего эту операцию, как и у предиката, осуществляющего объединение двух множеств, есть три параметра: первые два — исходные множества, третий — результат пересечения двух первых аргументов. В итоговом множестве должны оказаться те элементы, которые входят и в первое, и во второе множество одновременно.

Этот предикат, наверное, будет немного проще объединения. Его мы также проведем рекурсией по первому множеству. Базис рекурсии: пересечение пустого множества с любым множеством будет пустым множеством. Шаг рекурсии так же, как и в случае объединения, разбивается на два случая в зависимости от того, принадлежит ли первый элемент первого множества второму. В ситуации, когда голова первого множества является элементом второго множества, пересечение множеств получается приписыванием головы первого множества к пересечению хвоста первого множества со вторым множеством. В случае, когда первый элемент первого множества не встречается во втором множестве, результирующее множество получается пересечением хвоста первого множества со вторым множеством.

Запишем это.

intersection([],_,[]). /*  в результате пересечения 
                    пустого множества с любым 
                    множеством получается пустое 
                    множество */
intersection([H|T1],S2,[H|T]):– 
              member3(H,S2), 
                /* если голова первого множества H 
                  принадлежит второму множеству S2 */
              !,
              intersection(T1,S2,T). 
                /* то результатом будет множество, 
                  образованное головой первого 
                  множества H и хвостом, полученным
                  пресечением хвоста первого 
                  множества T1 со вторым 
                  множеством S2 */
intersection([_|T],S2,S):–
              intersection(T,S2,S). 
                /* в противном случае результатом 
                  будет множество S, полученное 
                  объединением хвоста первого 
                  множества T со вторым 
                  множеством S2 */

Если пересечь множество [1,2,3,4] со множеством [3,4,5], то в результате получится множество [3,4].

Пример. Следующая операция, которую стоит реализовать, — это разность двух множеств. Напомним, что разность двух множеств — это множество, образованное элементами первого множества, не принадлежащими второму множеству. Обозначается разность множеств A и B через A–B или A\B. В математических обозначениях это выглядит следующим образом: .

На рисунках разность множеств A и B ( B и A ) обозначена штриховкой.

Рис. 9.3. Разность множеств A и B

Рис. 9.4. Разность множеств В и А

В этой операции, в отличие от двух предыдущих, важен порядок множеств. Если в объединении или пересечении множеств поменять первый и второй аргументы местами, результат останется прежним. В то время как при A={1,2,3,4}, B={3,4,5}, A\B={1,2}, но B\A={5}.

У предиката, реализующего разность, как и у объединения и пересечения, будет три аргумента: первый — множество, из которого нужно вычесть, второй — множество, которое нужно отнять, третий — результат вычитания из первого аргумента второго. В третий параметр должны попасть те элементы первого множества, которые не принадлежат второму множеству.

Рекурсия по первому множеству поможет нам реализовать вычитание. В качестве базиса рекурсии возьмем очевидный факт: при вычитании произвольного множества из пустого множества ничего кроме пустого множества получиться не может, так как в пустом множестве элементов нет. Шаг рекурсии, как и в случае объединения и пересечения, зависит от того, принадлежит ли первый элемент множества, из которого вычитают, множеству, которое вычитают. В случае, когда голова первого множества является элементом второго множества, разность множеств получается путем вычитания второго множества из хвоста первого. Когда первый элемент множества, из которого производится вычитание, не встречается в вычитаемом множестве, ответом будет множество, образованное приписыванием головы первого множества к результату вычитания второго множества из хвоста первого множества.

Запишем эти рассуждения.

minus([],_,[]). /* при вычитании любого множества 
              из пустого множества получится пустое 
              множество */
minus([H|T],S2,S):–
              member3(H,S2), 
                /* если первый элемент   первого 
                  множества H принадлежит второму 
                  множеству S2*/
              !,
              minus(T,S2,S). 
                /* то результатом S будет разность 
                  хвоста первого множества T 
                  и второго множества S2 */
minus([H|T],S2,[H|S]):–
                  minus(T,S2,S). 
                /* в противном случае,   результатом 
                  будет множество, образованное 
                  первым элементом первого 
                  множества H и хвостом, полученным 
                  вычитанием из хвоста первого 
                  множества T второго множества S2 */

Можно попробовать реализовать пересечение через разность. Из математики нам известно тождество . Попробуем проверить это тождество, записав соответствующий предикат, реализующий пересечение множеств, через взятие разности.

intersection2(A,B,S):–
            minus(A,B,A_B), /*A_B=A\B */
            minus(A,A_B,S). /* S = A\A_B = A\(A\B) */

Проверка на примерах показывает, что этот предикат, так же, как, впрочем, и ранее созданный предикат intersection, возвращает именно те результаты, которые ожидаются.