Комбинаторная логика как формальная система
Перечислим правила вывода комбинаторных термов, которые задают характеристики отношения конвертируемости:
Как видно из перечисленных выше свойств, отношение конвертируемости обладает, в частности, свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Первое из только что перечисленных свойств означает конвертируемость произвольного комбинаторного выражения к самому себе, второе - двунаправленность вывода комбинаторных выражений посредством конверсии, а третье - возможность опускать промежуточные этапы конверсии для цепочек вывода.
К сожалению, относительная простота описания предыдущих этапов формальной теории комбинаторной логики ( алфавита, аксиом и правил вывода ) порождает довольно громоздкие выкладки при моделировании вычислений.
В этой связи из соображений экономии пространства для вывода соотношений принимаются следующие умолчания, позволяющие значительно сократить запись и увеличить удобство прочтения и обработки комбинаторных термов.
Во-первых, скобки для операции аппликации восстанавливаются по ассоциации влево, например:
XY = (XY), XYZ = ((XY)Z), ...
Во-вторых, избыточные скобки могут опускаться, например:
(XY) = XY, ((XY)Z) = XYZ, ...
Под синтаксисом понимают раздел описания формального математического языка или языка программирования, исследующий вид, форму и структуру конструкций, без учета их значения (или, иначе, семантики ) или практической применимости (или, иначе, прагматики ).
Задать синтаксис языка возможно, перечислив описание его конструкций, например, с помощью форм Бэкуса-Наура или БНФ. БНФ созданы в 60-х годах Дж. Бэкусом (John Backus) и развиты П. Науром (Peter Naur) как метаязык для формализации синтаксиса языка программирования ALGOL 60. Впоследствии БНФ получили широкое распространение и в настоящее время являются основной нотацией для формализации синтаксиса языков программирования (мы будем пользоваться БНФ для формализации синтаксиса языка программирования SML). В данной нотации символ " ::= " интерпретируется словами "может иметь вид", а символ " | " - словом "или". Определяемое и определяющие понятия записываются в угловых скобках, первое - слева, а последние - справа от значка " ::= ".
Формализуем синтаксис выражений комбинаторной логики (или комбинаторов ).
БНФ -описание комбинатора имеет вид:
<комбинатор> ::= K | S | (<комбинатор> <комбинатор>)
БНФ -описание терма комбинаторной логики, возможно, содержащего переменные, имеет вид:
<комбинаторный терм> ::= K | S | <переменная> | (<комбинаторный терм> <комбинаторный терм>)
Проиллюстрируем представленную формальную систему комбинаторной логики необходимыми примерами комбинаторов. Рассмотрим характеристические соотношения для комбинаторов, которые впоследствии окажутся теоретически интересными и практически полезными в данном курсе (некоторые из соотношений совпадают с введенными ранее аксиомами ):
(I) I a = a; (K) К ab = a; (S) S abc = ac(bc); (B) B abc = a(bc); (C) C abc = acb; (W) W xy = xyy.
Соотношение (I), как уже отмечалось, характеризует комбинатор тождества.
Соотношение (K), как отмечалось, характеризует комбинатор первой проекции (иначе именуемый канцелятором, т.е. "отменяющим" "выполнение" всех "инструкций", кроме первой).
Соотношение (S) характеризует комбинатор - коннектор, который определяет порядок "связывания" "инструкций" программы таким образом, что третья "инструкция" "распределяется" по паре из двух первых.
Соотношение (B) характеризует комбинатор композиции, который образует последовательность комбинаторных термов и служит для объединения более элементарных "инструкций" в более сложные, а в итоге - в "программы".
Соотношения (C) и (W) определяют соответственно пермутацию ( перестановку ) и дублирование аргументов.
Напомним, что одной из основных причин возникновения ламбда-исчисления была необходимость исследовать возможность кратчайшей перезаписи выражения ( функции ) с сохранением эквивалентного значения. Для реализации этой возможности вводилось преобразование редукции ламбда- термов.
Оказывается, что в комбинаторной логике наследуется возможность редукции. Поскольку она интересна теоретически (для сокращения выкладок) и полезна практически (для оптимизации программного кода абстрактных машин ), рассмотрим ее более подробно.
В ходе исследований выяснилось, что редукция (преобразование для сокращения записи) комбинаторных термов возможна в соответствии с правилами вывода, аналогичными аксиомам (K) и (S).
Проиллюстрируем моделирование механизма редукции следующим примером.
Рассмотрим комбинаторный терм вида
SKKx.
Пользуясь аксиомами (К) и (S), а также правилами вывода, произведем редукцию терма:
SKKx = (по правилу S) Kx(Kx) = (по правилу K) x.
В результате получаем, что SKKx = x, откуда, с учетом аксиом и правила (I), I = SKK.
Как видно из предыдущего примера, одни комбинаторы можно выразить через другие.
Возникает вопрос: существует ли конечный набор комбинаторов, посредством которого можно выразить произвольный терм комбинаторной логики? Оказывается, что ответ на поставленный вопрос утвердителен, причем введенные аксиомы и правила вывода обеспечивают весьма лаконичный набор такого рода.
Необходимость продолжения рассуждений приводит нас к понятию базиса.
Множество (минимальной мощности) комбинаторов, через элементы которого может быть выражен произвольный комбинатор, называется ( минимальным ) базисом .
Оказывается, можно доказать, что:
- базис термов для комбинаторной логики действительно существует (причем существует бесконечное множество возможных базисов );
- для любого базиса справедливо, что он обеспечивает представление произвольного комбинаторного терма (в силу свойства полноты, которым обладает система комбинаторной логики);
- минимальный базис состоит всего из двух "инструкций"- комбинаторов, например, {K,S}.
Приведем еще несколько примеров базисов:
{I,K,S}; {I,B,C,S}; {B,W,K}.Разложение термов в базисе {K,S} для ранее рассмотренных комбинаторов имеет вид:
B = S(KS)K; W = SS(K(SKK)); C = S(BBS)(KK).
Разложение в базисе аналогично программированию на языке базисных инструкций.
Выясняется, что комбинаторная логика обладает возможностью не только моделировать процесс реализации программного обеспечения на языке функционального программирования, но и прозрачно формализовать процедуру приписывания типов объектам этого языка.
Под типом ( сортом ) будем понимать относительно устойчивую и независимую совокупность элементов, которую можно выделить во всем рассматриваемом множестве (предметной области). Более подробно типизация языков программирования и теория типов будут рассмотрены нами в ходе следующей лекции.
В случае комбинаторной логики будем считать, что тип a приписан комбинатору X тогда и только тогда, когда это утверждение получено из следующих аксиом:
(FI) ||- #(I) = (a,a), (FK) ||- #(K) = (a,(b,a)) = (a,b,a), (FS) ||- #(S) = ((a,(b,c)), ((a, b)(a,c)))
(F) если ||- #(X) = (a,b) и ||- #(U) = a,
то ||- #(XU) = b.Заметим, что процедура контроля соответствия типов транслятора языка программирования реализована сходным образом, причем в ней используется механизм сопоставления с образцом. В языке программирования SML, кроме того, применятся механизм получения логического вывода о типе выражения, исходя из контекста его использования. Этот механизм, известный также как выводимость типов (type inference), адекватно моделируется в терминах комбинаторной логики.
В качестве иллюстрации естественности применения формальной системы комбинаторной логики для моделирования языка функционального программирования SML приведем определения функций, реализующих характеристики некоторых из базисных комбинаторов:
fun Ix = x; fun Kxy = x; fun Sxyz = xz(yz);
Реализация функций достаточно прозрачна и не требует пояснений.
Функция I реализует комбинатор тождества I, функция K - комбинатор - канцелятор K, а функция S - комбинатор - коннектор S.
Для более подробного самостоятельного ознакомления с тематикой лекции рекомендуется следующий список источников: [32, 43, 44, 76].