Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Погрешности представления чисел

Абсолютная погрешность представления – разность между истинным значением входной величины А и ее значением, полученным из машинного изображения А_м, т. е.

Δ[А] = А –А_м. ,

где А_м – машинное представление величины А, которое отличается от истинной в силу ограниченного количества разрядов машинной сетки.

Относительная погрешность представления – величина

σ [А] = Δ[А] / А

Погрешности представления чисел с фиксированной точкой

Абсолютная погрешность составляет половину единицы младшего разряда числа.

Для правильных дробей (числа с фиксированной запятой):

Δ[А] = 0.5* 2^-n.

σ [А]_мин = Δ[А] / А_макс = (0.5 * 2^-n)/ (1-2^-n) ≈ 0.5 *2^-n

σ [А]_макс = Δ[А] / А_мин = (0.5 * 2^-n) / 2^-n = 0.5

Для целых чисел (числа с фиксированной точкой):

Δ[А] = 0.5* 2⁰= 0.5.

σ [А]_мин = Δ[А] / А_макс = 0.5 / (2^п-1) ≈0.5 / 2^п =0.5* 2^-n

σ [А]_макс = Δ[А] / А_мин = 0.5 / 1 = 0.5

Как мы видим, и в том и в другом случае эта погрешность может существенно меняться в зависимости от представляемой величины.

Диапазон и точность представления чисел с плавающей запятой

k – порядок числа;

M – мантисса числа

Пример:

567 = 567*10⁰ = 5670*10^-1 = 5,67*10² = 0,567*10³ = 0,00567*10⁵ = …

Нормализованная мантисса удовлетворяет условию:

1 > |M| ≥ p^-1

567 → 0,567*10³

П_макс = 0,1 ... 1 = 2^п-1

М _макс = 0,1 ... 1 = 1-2^-m

-П_макс = -(2^п-1)

М _мин = 0,1 = 2^-1

Погрешности представления чисел с плавающей запятой

Δ[А] = 0.5* 2^-m* 2^P

σ [А]_мин = Δ[А] / А_макс = ((0.5 * 2^-m) * 2^P) /((1-2^-m) * 2^P)≈ 0.5 *2^-m

σ [А]_макс = Δ[А] / А_мин = ((0.5 * 2^-m) * 2^P) / 2^-1 = 2^-m

Особенности использования действующего в настоящее время ГОСТа 754-2008 на представление чисел с плавающей запятой мы обсудим в лекции, касающейся порядка обработки таких чисел и особых ситуаций, встречающихся в процессе этой обработки.

Краткие итоги

Рассмотрены типы систем счисления. По критерию минимальности используемого оборудования выбрана двоичная система счисления для реализации элементов вычислительной техники. Приведены правила перевода целых и дробных чисел из одной произвольной системы счисления в другую. Особое внимание обращено на перевод чисел, представленных в 2^k-ичных системах счисления (двоичных, восьмеричных, 16-ных) между собой, что, с одной стороны, выполняется достаточно просто, а с другой стороны, требуется делать относительно часто в тех или иных случаях как при программировании, так и при разработке аппаратуры. Показаны механизмы расчета диапазонов представления и погрешностей для чисел различных форматов.

Контрольные вопросы

1. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных? Приведите примеры позиционных и непозиционных систем счисления.
2. Укажите достоинства, недостатки и области применения позиционных и непозиционных систем счисления.
3. Запишите число "14" в римской системе счисления.
4. Запишите число "5" 3-й и 9-й системах счисления.
5. Укажите методы перевода целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую.
6. Переведите число 5323 из 7-й системы счисления в 5-ю и 9-ю различными методами. Сравните полученные результаты. Если результаты не совпадают, объясните причину расхождения.
7. В какой системе счисления одно и то же число буде иметь больше знаков: в системе с бОльшим или с меньшим основанием? Почему? Всегда ли число в системах с разными основаниями имеет разное количество знаков?
8. Одно и то же число записано в системах счисления с разными основаниями. Можно ли сказать, для какой записи числа основание системы счисления больше?
9. Укажите методы перевода правильных дробей из одной позиционной системы счисления в другую.
10. Всегда ли правильная конечная дробь в одной системе счисления будет правильной конечной дробью в другой системе счисления? Почему?
11. Как определяется количество разрядов, которое необходимо для представления правильной конечной дроби в другой системе счисления? Каким образом определяется соотношение между количеством разрядов правильной дроби в разных системах счисления?
12. Как производится округление дробной части числа в p-й системе счисления?
13. В какой системе счисления для указания дробной части числа потребуется большее количество разрядов: в системе счисления с бОльшим или с меньшим основанием? Почему?
14. Укажите методы перевода смешанных чисел из одной позиционной системы счисления в другую.
15. Переведите число 345, 67 из 8-й системы счисления в 5-ю и 9-ю.
16. Как определяется диапазон представления двоичных чисел с фиксированной точкой?
17. Как определяется диапазон представления двоичных чисел с фиксированной запятой?
18. Как определяется диапазон представления двоичных чисел с плавающей запятой?
19. Как определяется относительная погрешность представления двоичных чисел с фиксированной точкой?
20. Как определяется относительная погрешность представления двоичных чисел с фиксированной запятой?
21. Как определяется относительная погрешность представления двоичных чисел с плавающей запятой?
22. Укажите достоинства и недостатки представления двоичных чисел в виде чисел с фиксированной точкой, фиксированной запятой, плавающей запятой.
23. Какие характеристики числа с плавающей запятой изменятся при изменении количества разрядов, отводимых под порядок и под мантиссу числа?
24. Для двоичного числа, представленного в формате с плавающей запятой, 3 разряда отведено под порядок и 7 разрядов – под мантиссу (знаки не учитываются). Укажите диапазон изменения таких чисел, максимальную и минимальную погрешности.