Опубликован: 05.06.2018 | Доступ: свободный | Студентов: 702 / 177 | Длительность: 07:59:00
Лекция 6:

Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Погрешности представления чисел

Абсолютная погрешность представления – разность между истинным значением входной величины А и ее значением, полученным из машинного изображения Ам, т. е.

Δ[А] = А –Ам. ,

где Ам – машинное представление величины А, которое отличается от истинной в силу ограниченного количества разрядов машинной сетки.

Относительная погрешность представления – величина

σ [А] = Δ[А] / А

Погрешности представления чисел с фиксированной точкой

Абсолютная погрешность составляет половину единицы младшего разряда числа.

Для правильных дробей (числа с фиксированной запятой):

Δ[А] = 0.5* 2-n.

σ [А]мин = Δ[А] / Амакс = (0.5 * 2-n)/ (1-2-n) ≈ 0.5 *2-n

σ [А]макс = Δ[А] / Амин = (0.5 * 2-n) / 2-n = 0.5

Для целых чисел (числа с фиксированной точкой):

Δ[А] = 0.5* 20= 0.5.

σ [А]мин = Δ[А] / Амакс = 0.5 / (2п-1) ≈0.5 / 2п =0.5* 2-n

σ [А]макс = Δ[А] / Амин = 0.5 / 1 = 0.5

Как мы видим, и в том и в другом случае эта погрешность может существенно меняться в зависимости от представляемой величины.

Диапазон и точность представления чисел с плавающей запятой

k – порядок числа;

M – мантисса числа

Пример:

567 = 567*100 = 5670*10-1 = 5,67*102 = 0,567*103 = 0,00567*105 = …

Нормализованная мантисса удовлетворяет условию:

1 > |M| ≥ p-1

567 → 0,567*103

Формат числа с плавающей запятой

ЗнП

2n-1

. . .

21

20

ЗнМ

2-1

2-2

. . .

2-m

Порядок (n+1 разряд) Мантисса (m+1разряд)

Пмакс = 0,1 ... 1 = 2п-1

М макс = 0,1 ... 1 = 1-2-m

макс = -(2п-1)

М мин = 0,1 = 2-1

Погрешности представления чисел с плавающей запятой

Δ[А] = 0.5* 2-m* 2P

σ [А]мин = Δ[А] / Амакс = ((0.5 * 2-m) * 2P) /((1-2-m) * 2P)≈ 0.5 *2-m

σ [А]макс = Δ[А] / Амин = ((0.5 * 2-m) * 2P) / 2-1 = 2-m


Особенности использования действующего в настоящее время ГОСТа 754-2008 на представление чисел с плавающей запятой мы обсудим в лекции, касающейся порядка обработки таких чисел и особых ситуаций, встречающихся в процессе этой обработки.

Краткие итоги

Рассмотрены типы систем счисления. По критерию минимальности используемого оборудования выбрана двоичная система счисления для реализации элементов вычислительной техники. Приведены правила перевода целых и дробных чисел из одной произвольной системы счисления в другую. Особое внимание обращено на перевод чисел, представленных в 2k-ичных системах счисления (двоичных, восьмеричных, 16-ных) между собой, что, с одной стороны, выполняется достаточно просто, а с другой стороны, требуется делать относительно часто в тех или иных случаях как при программировании, так и при разработке аппаратуры. Показаны механизмы расчета диапазонов представления и погрешностей для чисел различных форматов.

Контрольные вопросы

  1. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных? Приведите примеры позиционных и непозиционных систем счисления.
  2. Укажите достоинства, недостатки и области применения позиционных и непозиционных систем счисления.
  3. Запишите число "14" в римской системе счисления.
  4. Запишите число "5" 3-й и 9-й системах счисления.
  5. Укажите методы перевода целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую.
  6. Переведите число 5323 из 7-й системы счисления в 5-ю и 9-ю различными методами. Сравните полученные результаты. Если результаты не совпадают, объясните причину расхождения.
  7. В какой системе счисления одно и то же число буде иметь больше знаков: в системе с бОльшим или с меньшим основанием? Почему? Всегда ли число в системах с разными основаниями имеет разное количество знаков?
  8. Одно и то же число записано в системах счисления с разными основаниями. Можно ли сказать, для какой записи числа основание системы счисления больше?
  9. Укажите методы перевода правильных дробей из одной позиционной системы счисления в другую.
  10. Всегда ли правильная конечная дробь в одной системе счисления будет правильной конечной дробью в другой системе счисления? Почему?
  11. Как определяется количество разрядов, которое необходимо для представления правильной конечной дроби в другой системе счисления? Каким образом определяется соотношение между количеством разрядов правильной дроби в разных системах счисления?
  12. Как производится округление дробной части числа в p-й системе счисления?
  13. В какой системе счисления для указания дробной части числа потребуется большее количество разрядов: в системе счисления с бОльшим или с меньшим основанием? Почему?
  14. Укажите методы перевода смешанных чисел из одной позиционной системы счисления в другую.
  15. Переведите число 345, 67 из 8-й системы счисления в 5-ю и 9-ю.
  16. Как определяется диапазон представления двоичных чисел с фиксированной точкой?
  17. Как определяется диапазон представления двоичных чисел с фиксированной запятой?
  18. Как определяется диапазон представления двоичных чисел с плавающей запятой?
  19. Как определяется относительная погрешность представления двоичных чисел с фиксированной точкой?
  20. Как определяется относительная погрешность представления двоичных чисел с фиксированной запятой?
  21. Как определяется относительная погрешность представления двоичных чисел с плавающей запятой?
  22. Укажите достоинства и недостатки представления двоичных чисел в виде чисел с фиксированной точкой, фиксированной запятой, плавающей запятой.
  23. Какие характеристики числа с плавающей запятой изменятся при изменении количества разрядов, отводимых под порядок и под мантиссу числа?
  24. Для двоичного числа, представленного в формате с плавающей запятой, 3 разряда отведено под порядок и 7 разрядов – под мантиссу (знаки не учитываются). Укажите диапазон изменения таких чисел, максимальную и минимальную погрешности.