НОУ ИНТУИТ | Элементы финансовой математики. Лекция 6: Финансовые ренты

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.09.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 1232 / 367 | Длительность: 12:18:00

Тема: Менеджмент

Специальности: Менеджер, Руководитель, Экономист

|

Вам нравится? Нравится 32 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

6.3 Основные виды финансовых рент

До настоящего момента в этой лекции рассматривались только обычные (или постнумерандо) ренты с начислением процентов один раз в конце периода. Однако на практике встречаются финансовые ренты с различными правилами выполнения платежей и начисления процентов. Рассмотрим некоторые из них и выведем для них формулы вычисления наращенной суммы S, аналогичные формуле (6.3).

6.3.1 Ренты с начислением процентов в конце года

Годовая рента

Так называется рента, в которой платеж, равный R, выплачивается в конце каждого года, и в конце каждого года на накопленную сумму начисляются сложные проценты по ставке i. Наращенная за n лет сумма S и величина платежа R рассчитываются по формуле (6.3).

p-срочная рента

Так называется рента, при которой p раз в год через равные промежутки времени производятся платежи, равные R/p. На накопленную сумму в конце каждого года начисляются сложные проценты по годовой ставке i. Изобразим такую ренту на оси времени:

Всего за n~лет будет сделано np платежей. Выведем формулу, выражающую наращенную к моменту n сумму этой ренты, в предположении, что проценты за любой период начисляются по формуле сложных процентов.

Последний платеж входит в наращенную сумму без изменения, то есть в размере R/p. На предпоследний платеж по годовой ставке i начисляются сложные проценты за период, равный 1/p части года, следовательно, в момент~n наращенная на этот платеж сумма будет равна

$\frac Rp\,(1+i)^{\frac 1p}.$

Сумма, наращенная к моменту n на второй от конца платеж, будет равна

$\frac Rp\,(1+i)^{\frac 2p}.$

Сумма, наращенная к моменту n на первый платеж, будет равна

$\frac Rp\,(1+i)^{\frac{np-1}{p}},$

так как на него начисляются сложные проценты np-1 раз по годовой ставке i каждый раз за период, равный 1/p части года. (Можно рассуждать и иначе: так как

$\frac{np-1}{p}=n-\frac{1}{p}\,,$

то на сделанный в момент 1 платеж к моменту~n начисляются сложные проценты по годовой ставке i за период, равный n-1/p годам.)

Наращенная за n лет сумма всей ренты равна:

$S=\frac{R}{p}+\frac{R}{p}(1+i)^{{1\over p}}+\frac{R}{p}(1+i)^{{2\over p}}+\ldots+ \frac{R}{p}(1+i)^{\frac{np-1}{p}}.$

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом $b_{1}=R/p$ и знаменателем $q=(1+i)^{\frac 1p}$ . Число членов этой прогрессии равно k=np . По формуле (45), суммы первых k членов геометрической прогрессии, находим S:

$S=\frac{b_{1}(q^{k}-1)}{q-1}=\frac{R}{p}\times\frac{{\left((1+i)^{{1\over p}}\right)}^{np}-1}% {(1+i)^{{1\over p}}-1} =R\,\frac{(1+i)^{n}-1}{p[(1+i)^{{1\over p}}-1]}$

Введем обозначение:

$s_{n;\,i}^{(p)}=\frac{(1+i)^{n}-1}{p[\left(1+i\right)^{{1\over p}}-1]}\,\,\, (6.5)$

Тогда наращенная сумма p-срочной ренты равна:

$S=Rs_{n;\,i}^{(p)}\,\,\, (6.6)$

Коэффициент $s_{n;\,i}^{(p)}$ можно представить в виде произведения:

$s_{n;\,i}^{(p)}=s_{n;\,i}\,K_{p;\,i}\,\,\, (6.7)$

где

$K_{p;\,i}=\frac{i}{p[\left(1+i\right)^{{1\over p}}-1]}\,.$

Когда-то для выполнения расчетов по формуле (50) использовались специальные таблицы значений функций $s_{n;\,i}$ и $K_{p;\,i}\,$ . Теперь для вычисления значений этих функций можно использовать финансовый калькулятор или программу Excel. Однако самым удобным и полезным является создание своей функции на VBA. При этом нет смысла представлять функцию $s_{n;\,i}^{(p)}$ в виде произведения (как в формуле (51), а следует реализовывать вычисления по формуле (6.6).

Рассмотрим пример на вычисление наращенной суммы ренты по формуле (6.7). Он отличается от примера 54 только тем, что годовой платеж разбивается на два равных платежа.

Пример 56. Фирма для создания фонда помощи ветеранам труда вкладывает два раза в год по 125 000 руб. в банк, выплачивающий 8% годовых. Какая сумма будет на счёте фонда через 5 лет?

Решение. Вклады в банк образуют 2-срочную ренту, для которой R=250 000 руб., n=5, i=8%. Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле (6.7), подставляя в нее $s_{5;\,8\%}^{(2)}=5.9817:$

$S=250\,000\times s_{5;\,8\%}^{(2)}= 250\,000\times 5.9817 = 1\,495\,418.91\mbox{ руб.}$

Сравнивая ответ, полученный в примере 56, с ответом примера 54, находим, что разбиение годовой суммы на два равных платежа привело к увеличению наращенной суммы ренты на 28 768.66 руб.

На практике крайне редко, но встречаются ренты с периодом больше года, в которых платеж, равный $R_{r}$ , выполняется один раз в R~лет (>1). В лекции мы не будем рассматривать вывод формул для такой ренты.

Дальше >>

Авторизоваться

Элементы финансовой математики

Финансовые ренты

6.3 Основные виды финансовых рент

6.3.1 Ренты с начислением процентов в конце года

Годовая рента

p-срочная рента

Вопросы и ответы