Структурные характеристики вариационного ряда распределения

8.1. Мода

Мода (Мо) - это наиболее часто встречающееся значение признака, или иначе говоря, значение варианты с наибольшей частотой. В дискретных и интервальных рядах моду рассчитывают по-разному.

8.1.1. Определение моды в дискретных вариационных рядах

В дискретных вариационных рядах для определения моды не требуется специальных вычислений: значение признака, которому соответствует наибольшая частота, и будет значением моды.

Пример 8.1. По представленным ниже результатам проведения контрольной работы по статистике определим моду.

Здесь наибольшая частота - 10, она принадлежит варианте со значением 3, значит, Мо = 3. Таким образом, самой распространенной оценкой, полученной студентами за контрольную работу, была "тройка".

8.1.2. Определение моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами

Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала находят модальный интервал, которым является интервал с наибольшей частотой, а затем ведут расчет по формуле

где х_Мо - нижняя граница модального интервала;

d - величина интервала;

f_Mo - частота модального интервала;

f_Mo - 1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo + 1 - частота интервала, следующего за модальным.

Пример 8.2. Имеются данные по группе банков.

Определим модальный размер выданных кредитов:

1. модальным является интервал 60-80, так как ему соответствует наибольшая частота (21);
2. нижняя граница модального интервала x_Мо = 60; величина интервала d = 20 (80 - 60 = 20);
3. частота модального интервала f_Мо = 21; частота интервала, предшествующего модальному, f_Мо - 1 = 15; частота интервала, следующего за модальным, f_Мо + 1 = 12.

Подставив в формулу соответствующие величины, получим

Определить модальное значение признака можно и по графику. Для этого в случае дискретных вариационных рядов строится полигон распределения. Напомним, что у него на оси абсцисс помещаются значения признака (варианты), а на оси ординат - соответствующие им частоты. Значение абсциссы, соответствующее наибольшей вершине полигона, будет значением моды.

Пример 8.3. По результатам проведения контрольной работы по статистике, приведенным в примере 8.1, определим моду графическим способом.

Для этого построим полигон распределения и найдем абсциссу его вершины (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Определение моды по полигону распределения

Если имеется интервальный вариационный ряд с равными интервалами, то для определения моды строится гистограмма, у которой на оси абсцисс находятся значения границ интервалов, а на оси ординат - соответствующие интервалам частоты. На гистограмме модальный интервал будет иметь наибольшую высоту столбца. Затем надо провести линии, соединяющие вершины модального столбца с прилегающими вершинами соседних столбцов. Для нахождения значения моды из точки пересечения проведенных линий на ось абсцисс опускают перпендикуляр. Абсцисса точки пересечения будет значением моды. Продемонстрируем это на примере.

Пример 8.4. По данным о распределении банков по сумме выданных кредитов, приведенным в примере 8.2, определим моду графическим способом (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Определение моды по гистограмме распределения

Вариационный ряд может содержать несколько модальных значений. Чаще всего это происходит, когда в один ряд объединяют разнородные единицы наблюдения, которые желательно разделить на подгруппы и анализировать по отдельности. Вариационный ряд, имеющий одну моду, называется унимодальным, две - бимодальным, три и более - мультимодальным.