Опубликован: 26.10.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 404 / 17 | Длительность: 08:16:00
Специальности: Менеджер, Экономист
Лекция 3:

Рынок как система с явными потерями

3.5. Средняя пропускная способность группы потребителей полнодоступного рынка

Средняя интенсивность предложения, обслуживаемой одной группой потребителей полнодоступного рынка при общем числе потребителей \nu:

\eta=\frac{Y_{обсл.}}{\nu}, Y_{обсл.} =Y-Y_{потер.} =Y-E_{\nu} (Y) \cdot Y=Y \cdot [1-E_{\nu, \nu} (Y)]

Записывая выражение для P_{\nu}и P _{\nu-1}, легко убедиться, что:

P_{\nu}=\frac{Y}{\nu}\cdot P_{\nu -1} или

P_{\nu}=\frac{Y}{\nu} \cdot E_{\nu, \nu -1}(Y) ( 3.16)

Подставляя отсюда Y в выражение для Y_{обсл} , получим:

\cdot [1-E_{\downarrow}(\nu , \nu)(Y)]

\eta = \frac{E_{\nu , \nu}(Y)}{E_{\nu -1}(Y)}\cdot [1- E_{\downarrow}(\nu , \nu)(Y)] ( 3.17)

При малой величине потерь:

\eta \approx \frac{E_{\nu , \nu}(Y)}{E_{\nu -1}(Y)}

\eta = f (v) при P=const

График использования групп потребителей

увеличить изображение
Рис. 3.10. График использования групп потребителей

Рассматривая график можно сделать вывод: для повышения использования групп потребителей необходимо объединять потоки и группы потребителей обслуживающих рынок. Эффект от объединения групп тем выше, чем меньше величина. При v>100 приращение пропускной способности незначительно (кривая почти параллельна оси).

Замечание 1. При \nu  \to \infty формула Эрланга может быть заменена формулой Пуассона:

E_{\nu }(Y)=\frac{\frac{Y^{\nu }}{\nu !}}{ \sum\nolimits_{i=0}^{\nu} \frac{Y_i}{i!} } \to \frac{Y^{\nu}}{i!}e^{-Y}, так как \lim_{\to  \infty }  \sum_{i=0}^{\nu } \frac{Y^i}{i !} = e^Y

Замечание 2. Формула Эрланга E_{i,\nu} (Y) позволяет вычислить вероятность занятия i любых (случайных) групп потребителей из \nu групп потребителей.

3.6. Графические зависимости между параметрами первой формулы Эрланга

Потери являются функцией двух переменных \nu,Y:

P=E_v (Y) = f (\nu,Y)=\frac{\frac{Y^{\nu }}{\nu !}}{\sum\nolimits_{i=0}^{\nu} \frac{Y_i}{i !}}

Практический интерес представляет область малых потерь: 0.001 \div 0.01

График   в области малых потерь

Рис. 3.11. График в области малых потерь

Поступающая нагрузка изменилась с 32.5 Отн.ед. до 37.9 Отн.ед., то есть на 17%, а потери возросли в 10 раз! Это область малых потерь.

На практике приходится часто решать задачу, при увеличении поставки на рынок товаров, как должно, изменится число потребителей, чтобы величина потерь оставалась постоянной. Это можно определить только, используя график.

 График необходимого  числа потребителей при увеличении величины поступающего  предложения при сохранении заданной величины потерь

Рис. 3.12. График необходимого числа потребителей при увеличении величины поступающего предложения при сохранении заданной величины потерь

При P=const в достаточно большом интервале изменения величины поступающего предложения при Y>10 Отн. Ед. приближённо имеет линейный характер V \approx \alpha \cdot Y+а.