Опубликован: 26.10.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 404 / 17 | Длительность: 08:16:00
Специальности: Менеджер, Экономист
Лекция 3:

Рынок как система с явными потерями

3.3. Стационарный режим. Распределение Эрланга

Естественно принять начальные условия:

P_0 (t)=1 ; P_1 (0)=P_2 (0)=...=P_{\nu} (0)=0

При начале работы рынка P_ 0 (t) будет уменьшаться,

а далее P_1 (t),P_2 (t),…,P_v (t) - возрастать. Но беспредельно вероятности возрастать не могут.

Характер изменения потерь согласно формуле Эрланга

Рис. 3.8. Характер изменения потерь согласно формуле Эрланга

Доказано, что для систем с явными потерями переходный процесс затухает, и система при t \to \infty переходит в стационарный режим, так называемый установившийся режим обслуживания, то есть при t \to \infty все вероятности P_0 (t),P_1 (t),…,P_{\nu} (t) стремятся к постоянным пределам P_0, P_1, …,P_{\nu}; а все их производные - к нулю.

Чтобы найти предельные вероятности P_0, P_1, …,P_v (вероятности состояний системы в установившемся режиме), заменим в уравнениях Эрланга все вероятности P_i (t), 0 \leq i \leq \nu, их пределами P_i, а все производные положим равным нулю. Получим следующую систему алгебраических уравнений:

-\lambda \cdot P_0+\beta \cdot P_1=0,

\lambda \cdot P_0-(\lambda + \beta)\cdot P_1+2\cdot \beta \cdot P_2=0,

\lambda \cdot P_1-(\lambda + 2\cdot \beta)\cdot P_2+3\cdot \beta \cdot P_3=0

\lambda \cdot P_{i-1}-(\lambda + I \cdot \beta)\cdot P_i+(i+1)\cdot \beta \cdot P_{i+1}=0, 0<i<\nu

\lambda \cdot P_{\nu -1}-v\cdot \beta \cdot P_{\nu} = 0 ( 3.8)

К этим уравнениям необходимо добавить условие \sum_{i=0}^{\nu} P_i=1 .

Решим систему этих уравнений относительно P_ 0, P_ 1, …,P_{\nu}.

Из первого уравнения имеем

P_1=\frac{\lambda}{\beta}\cdot P_0

P_2=\frac{\lambda + \beta}{2\beta}\cdot P_1 + \frac{\lambda}{2\cdot \beta}\cdot P_0

Из второго - P_2 =\lambda+2\cdot \beta \cdot P_1.

Подставляя вместо P_1 значение, выраженное из первого уравнения, получим:

P_2=\frac{(\lambda + \beta)\cdot \lambda}{2\beta \cdot \beta}\cdot P_0+\frac{\lambda}{2\cdot \beta}\cdot P_0 = \frac{\lambda ^2}{2\cdot \beta ^2}

Обобщённый вид формулы:

P_i=\frac{\lambda _i}{\beta _ii!}P_0 ( 3.9)

Посмотрим, что собой представляет отношение \frac{\lambda}{\beta}:

\lambda - это параметр потока, численно равный для простейшего потока интенсивности, то есть среднему числу партий товаров в единицу времени;

- математическое ожидание средней длительности потребления одной партии товаров.

Следовательно, \lambda \cdot - есть интенсивность поступающего предложения

\lambda \cdot   =A

Выражение для P_i перепишется в следующем виде:

P_i=\frac{A_i}{i!}P_0

Для определения P_ 0 воспользуемся условием нормировки

\sum_{j=0}^{}\nu =  P_i=1,

\sum_{j=0}^{\nu}\frac{A_i}{i!}P_{0_i}=1

отсюда

P_0=\frac{1}{ \sum\nolimits_{j=0}^{\nu}\frac{A_i}{i!}}

Окончательно выражение для P_ i примет вид:

P_i=\frac{\frac{A_i}{i!}}{ \sum\nolimits_{j=0}^{\nu}\frac{A_i}{i!}}

\sum_{j=0}^{\nu}P_i(t)=1

Огибающие:

Огибающие распределения Эрланга

Рис. 3.9. Огибающие распределения Эрланга

При \nu \to \infty распределение Эрланга переходит в распределение Пуассона.

Эту формулу часто обозначают следующим образом:

P_i=E_{i,\nu} (A) =E_i (A) - вероятность того, что в произвольный момент

времени стационарного режима в полнодоступной группе ёмкостью \nu потребителей, на которую поступает интенсивность партий товаров Y, создаваемая простейшим потоком товаров, занято i потребителей.

P_i=\frac{\frac{Y^i}{i!}}{ \sum\nolimits_{j=0}^{\nu} \frac{Y^j}{j!}} ( 3.11)