НОУ ИНТУИТ | Программирование на Free Pascal и Lazarus. Лекция 3: Операторы управления

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Компания ALT Linux

Опубликован: 10.04.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 762 / 0 | Длительность: 14:03:00

Темы: Программирование, Образование

Специальности: Программист, Преподаватель

|

Вам нравится? Нравится 16 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Рассмотрим использование оператора if на примерах^{3В задачах этой главы мы не будем уделять много внимания интерфейсу создаваемых программ, чтобы у читателя была возможность разобраться в алгоритмах и способах их записи на языке Free Pascal.}.

ЗАДАЧА 3.1. Дано вещественное число

. Для функции, график которой приведён на рис. 3.10, вычислить y = f (x)

.

Аналитически функцию, представленную на рис. 3.10, можно записать так:

$y(x) = \begin{cases} 4, & x \le -2, \\ x^2, & -2 < x < 1, \\ 1, & x \ge 1. \end{cases}$

Составим словесный алгоритм решения этой задачи:

Начало алгоритма.
Ввод числа (аргумент функции).
Если значение меньше либо равно -2, то переход к п. 4, иначе переход к п. 5.
Вычисление значения функции: , переход к п. 8.
Если значение больше либо равно 1, то переход к п. 6, иначе переход к п. 7.
Вычисление значения функции: , переход к п. 8.
Вычисление значения функции: .
Вывод значений аргумента и функции .
Конец алгоритма.

Блок-схема, соответствующая описанному алгоритму, представлена на рисунке 3.11. Как видно, блок-схема нагляднее и проще для восприятия, чем словесное описание алгоритма. В дальнейшем для описания алгоритма мы часто будем использовать именно блок-схемы.

увеличить изображение
Рис. 3.11. Блок-схема алгоритма решения задачи 3.1

Текст программы на языке Free Pascal будет иметь вид:

var
	x, y : real;
begin
	write ( ’ x= ’ );
	readln ( x );
	if x<= -2 then y:=4
	else if x>=1 then y:=1
	else y:= sqr ( x );
	writeln ( ’ x= ’, x : 5 : 2, ’    y= ’, y : 5 : 2 );
end.

Эту программу можно ввести в текстовом редакторе Geany (или в текстовом редакторе Free Pascal) и запустить на выполнение.

ЗАДАЧА 3.2. Даны вещественные числа

и

. Определить, принадлежит ли точка с координатами (x; y)

заштрихованной части плоскости (рис. 3.12).

Как показано на рис. 3.12, область ограничена линиями x = -1, x = 3, y = -2 и y = 4 . Значит, точка с координатами (x; y) будет принадлежать этой области, если будут выполняться следующие условия: $x \ge -1, x \le 3, y \ge -2$ и $y \le 4$ . Иначе точка лежит за пределами области.

Блок-схема, описывающая алгоритм решения данной задачи, представлена на рис. 3.13.

увеличить изображение
Рис. 3.12. Графическое представление задачи 3.2

увеличить изображение
Рис. 3.13. Алгоритм решения задачи 3.2

Текст программы к задаче 3.2:

var x, y : real;
begin
	write ( ’ x= ’ ); readln ( x );
	write ( ’ y= ’ ); readln ( y );
	if ( x>= -1) and ( x<=3) and ( y>= -2) and ( y<=4) then
		writeln ( ’Точка принадлежит области ’ )
	else
		writeln ( ’Точка не принадлежит области ’ );
end.

ЗАДАЧА 3.3. Написать программу решения квадратного уравнения ax^2+ bx + c = 0.

Исходные данные: вещественные числа a, b и — коэффициенты квадратного уравнения.

увеличить изображение
Рис. 3.14. Алгоритм решения квадратного уравнения

Результаты работы программы: вещественные числа x_1 и x_2 — корни квадратного уравнения — либо сообщение о том, что корней нет.

Вспомогательные переменные: вещественная переменная , в которой будет храниться дискриминант квадратного уравнения.

Составим словесный алгоритм решения этой задачи.

Начало алгоритма.
Ввод числовых значений переменных и .
Вычисление значения дискриминанта по формуле .
Если , то переход к п. 5, иначе переход к п. 6.
Вывод сообщения "Действительных корней нет" и переход к п. 8.
Вычисление корней $x_1 = \left(-b+\sqrt{d}\right)/(2a)$ и $x_2 =\left(-b-\sqrt{d}\right)/(2a)$ .
Вывод значений и на экран.
Конец алгоритма.

Блок-схема, соответствующая этому описанию, представлена на рис. 3.14.

Текст программы, которая реализует решение квадратного уравнения:

{Описание переменных.}
var a, b, c, d, x1, x2 : real;
begin
{Ввод значения коэффициентов квадратного уравнения.}
writeln ( ’Введите коэффициенты квадратного уравнения ’ );
readln ( a, b, c );
{Вычисление дискриминанта.}
d:=b * b-4*a*c;
{Если дискриминант отрицателен,}
if d<0 then
	{то вывод сообщения, что корней нет,}
	writeln ( ’Действительных корней нет ’ )
else
begin
	{иначе вычисление корней x1, x2}
	x1:=(-b+sqrt ( d ) ) / 2 / a;
	x2:=(-b_sqrt ( d ) ) / ( 2 * a );
	{и вывод их на экран.}
	writeln ( ’X1= ’, x1 : 6 : 3, ’ -X2= ’, x2 : 6 : 3 )
end
end.

ЗАДАЧА 3.4. Составить программу нахождения действительных и комплексных корней квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0

.

Исходные данные: вещественные числа a, b и — коэффициенты квадратного уравнения.

Результаты работы программы: вещественные числа x_1 и x_2 — действительные корни квадратного уравнения — либо x_1 и x_2 — действительная и мнимая части комплексного числа.

Вспомогательные переменные: вещественная переменная , в которой будет храниться дискриминант квадратного уравнения.

Можно выделить следующие этапы решения задачи:

Ввод коэффициентов квадратного уравнения и .
Вычисление дискриминанта по формуле .
Проверка знака дискриминанта. Если $d \ge 0$ , то вычисление действительных корней:
$x_1 = \frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\text{ и } x_2 = \frac{-b-\sqrt{d}}{2a}$

и вывод их на экран. При отрицательном дискриминанте выводится сообщение о том, что действительных корней нет, и вычисляются комплексные корни^{4Комплексные числа записываются в виде , где — действительная часть комплексного числа, — мнимая часть комплексного числа, — мнимая единица .}

увеличить изображение
Рис. 3.15. Алгоритм решения задачи 3.4

$\frac{-b}{2a}+i\frac{\sqrt{|d|}}{2a}, \frac{-b}{2a}-i\frac{\sqrt{|d|}}{2a}.$

У обоих комплексных корней действительные части одинаковые, а мнимые отличаются знаком. Поэтому можно в переменной x1 хранить действительную часть числа -b/(2a) , в переменной x2 — модуль мнимой части $\sqrt{|d|}/(2a)$ , а в качестве корней вывести x1+ix2 и x1-ix2.

На рис. 3.15 изображена блок-схема решения задачи. Блок 1 предназначен для ввода коэффициентов квадратного уравнения. В блоке 2 осуществляется вычисление дискриминанта. Блок 3 осуществляет проверку знака дискриминанта; если дискриминант отрицателен, то корни комплексные, их расчёт происходит в блоке 4 (действительная часть корня записывается в переменную x1, модуль мнимой — в переменную x2), а вывод — в блоке 5 (первый корень x1+ix2, второй — x1-ix2). Если дискриминант положителен, то вычисляются действительные корни уравнения (блоки 6—7) и выводятся на экран (блок 8).

Текст программы, реализующей поставленную задачу:

var a, b, c, d, x1, x2 : real;
begin
	writeln ( ’Введите_коэффициенты_квадратного_уравнения ’ );
	readln ( a, b, c );
	d:=b * b-4*a*c;
	if d<0 then
	begin
	//Если дискриминант отрицателен, то вывод сообщения,
	//что действительных корней нет, и вычисление комплексных корней.
		writeln ( ’Действительных корней нет ’ );
		{Вычисление действительной части комплексных корней.}
		x1:=-b /(2 * a );
		{Вычисление модуля мнимой части комплексных корней.}
		x2:= sqrt ( abs ( d ) ) / ( 2 * a );
		writeln ( ’Комплексные корни уравнения  ’,
		a : 1 : 2, ’ x^2+ ’, b : 1 : 2, ’ x+ ’, c : 1 : 2, ’=0 ’ );
		{Вывод значений комплексных корней в виде }
		writeln ( x1 : 1 : 2, ’+i * ( ’, x2 : 1 : 2, ’ ) ’ );
		writeln ( x1 : 1 : 2, ’- i * ( ’, x2 : 1 : 2, ’ ) ’ );
	end
	else
	begin
	{иначе вычисление действительных корней x1, x2}
		x1:=(-b+sqrt ( d ) ) / 2 / a;
		x2:=(-b_sqrt ( d ) ) / ( 2 * a );
		{и вывод их на экран.}
		writeln ( ’Действительные корни уравнения  ’,
			a : 1 : 2, ’ x^2+ ’, b : 1 : 2, ’ x+ ’, c : 1 : 2, ’=0 ’ );
		writeln ( ’X1= ’, x1 : 1 : 2, ’ X2= ’, x2 : 1 : 2 )
	end
end.

ЗАДАЧА 3.5. Составить программу для решения кубического уравнения ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

.

Кубическое уравнение имеет вид

( 3.1)

После деления на уравнение (3.1) принимает канонический вид:

( 3.2)

где r = b/a, s = c/a, t = d/a . В уравнении (3.2) сделаем замену x = y - r/3 и получим приведённое уравнение:

( 3.3)

где

$p = \frac{3s-r^2}{3}, q = \frac{2r^{3}}{27} - \frac{rs}{3}+t.$

Число действительных корней приведённого уравнения (3.3) зависит от знака дискриминанта D = (p/3)^3+ (q/2)^2 приведённого кубического уравнения (табл. 3.1).

Таблица 3.1. Количество корней кубического уравнения
Дискриминант	Количество действительных корней	Количество комплексных корней
D > 0	1	2
D < 0	3	—

Корни приведённого уравнения могут быть рассчитаны по формулам Кардано:

$\begin{aligned} y_{1} & = u+v\\ y_{2} & = \frac{-{u+v}}{2}+\frac{u-v}{2}i\sqrt{3}\\ y_{3} & = \frac{-{u+v}}{2}-\frac{u-v}{2}i\sqrt{3} \end{aligned}$

( 3.4)

где

$u=\sqrt[{3}]{-q/2+\sqrt{D}}, v=\sqrt[{3}]{-q/2-\sqrt{D}}.$

При отрицательном дискриминанте уравнение (3.1) имеет три действительных корня, но они будут вычисляться через вспомогательные комплексные величины. Чтобы избавиться от этого, можно воспользоваться формулами:

$\begin{aligned} y_1&=2\sqrt[3]{\rho}\cos\left(\frac{\varphi}{3}\right),\\ y_2&=2\sqrt[3]{\rho}\cos\left(\frac{\varphi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right),\\ y_3&=2\sqrt[3]{\rho}\cos\left(\frac{\varphi}{3}+\frac{4\pi}{3}\right), \end{aligned}$

( 3.5)

где

$\rho =\sqrt{\frac{-p^3}{27}}, \cos(\varphi)=\frac{-q}{2\rho}.$

Таким образом, при положительном дискриминанте кубического уравнения (3.3) расчёт корней будем вести по формулам (3.4), а при отрицательном — по формулам (3.5).

После расчёта корней приведённого уравнения (3.3) по формулам (3.4) или (3.5) необходимо по формулам

$x_{k}=y_{k}-\frac{r}{3}, k=1,2,3\ldots$

перейти к корням заданного кубического уравнения (3.1).

Блок-схема решения кубического уравнения представлена на рис. 3.16.

увеличить изображение
Рис. 3.16. Алгоритм решения кубического уравнения

Описание блок-схемы. В блоке 1 вводятся коэффициенты кубического уравнения, в блоках 2—3 рассчитываются коэффициенты канонического и приведённого уравнений. Блок 4 предназначен для вычисления дискриминанта. В блоке 5 проверяется знак дискриминанта кубического уравнения. Если он отрицателен, то корни вычисляются по формулам (3.5) (блоки 6—7). При положительном значении дискриминанта расчёт идет по формулам (3.4) (блок 9, 10). Блоки 8 и 11 предназначены для вывода результатов на экран.

Текст программы с комментариями приведён ниже5^{5При расчёте величин и в программе предусмотрена проверка значения подкоренного выражения. Если , то , а . Если
, то
, а . Соответственно, при нулевом значении подкоренного выражения и обращаются в ноль.}.

var
	a, b, c, d, r, s, t, p, q, ro, f i, x1, x2, x3, u, v, h, g : real;
begin
	//Ввод коэффициентов кубического уравнения.
	write ( ’ a= ’ ); readln ( a );
	write ( ’ b= ’ ); readln ( b );
	write ( ’ c= ’ ); readln ( c );
	write ( ’ d= ’ ); readln ( d );
	//Расчёт коэффициентов канонического уравнения по 3.2.
	r :=b/a; s := c /a; t :=d/a;
	//Вычисление коэффициентов приведённого уравнения 3.3.
	p :=(3 * s - r * r ) / 3;
	q:=2* r * r * r /27- r * s/3+ t;
	//Вычисление дискриминанта кубического уравнения.
	d :=( p /3) * sqr ( p/3)+ sqr ( q / 2 );
	//Проверка знака дискриминанта,
	//ветка then реализует формулы (3.5),
	//ветка else — формулы 3.4
	if d<0 then
	begin
		ro := sqrt (-p * p * p / 27 );
		//Следующие два оператора реализуют расчёт угла fi,
		//сначала вычисляется величина косинуса угла,
		//затем вычисляется его арккосинус через арктангенс.
		fi :=-q /(2 * ro );
		fi := pi /2-arctan ( fi / sqrt (1 - fi * fi ) );
		//Вычисление действительных корней уравнения x1, x2 и x3
		x1 :=2 * exp (1/3 * ln ( ro ) ) * cos ( fi /3) - r / 3;
		x2 :=2 * exp (1/3 * ln ( ro ) ) * cos ( fi /3+2 * pi /3) - r / 3;
		x3 :=2 * exp (1/3 * ln ( ro ) ) * cos ( fi /3+4 * pi /3) - r / 3;
		writeln ( ’ x1= ’, x1 : 1 : 3, ’ x2= ’, x2 : 1 : 3, ’ x3= ’, x3 : 1 : 3 );
end
else
begin
	//Вычисление u и v с проверкой знака
	// подкоренного выражения.
	if -q/2+ sqrt ( d)>0 then
		u:=exp (1/3 * ln (-q/2+ sqrt ( d ) ) )
	else
		if -q/2+ sqrt ( d)<0 then
			u:=-exp (1/3 * ln ( abs(-q/2+ sqrt ( d ) ) ) )
		else
			u : = 0;
	if -q/2- sqrt ( d)>0 then
		v:=exp (1/3 * ln (-q/2- sqrt ( d ) ) )
	else
		if -q/2- sqrt ( d)<0 then
			v:=-exp (1/3 * ln ( abs(-q/2- sqrt ( d ) ) ) )
		else
			v : = 0;
	//Вычисление действительного корня кубического уравнения.
	x1:=u+v-r / 3;
	//Вычисление действительной и
	// мнимой части комплексных корней.
	h:=-(u+v)/2 - r / 3;
	g :=(u - v )/2 * sqrt ( 3 );
	writeln ( ’ x1= ’, x1 : 1 : 3, ’ x2= ’, h : 1 : 3, ’+i*  ’, g : 1 : 3,
				’ x3= ’, h : 1 : 3, ’ -i*  ’, g : 1 : 3 );
	end
end.

ЗАДАЧА 3.6. Заданы коэффициенты a, b и c биквадратного уравнения ax^4 + bx^2+ c = 0

. Найти все его действительные корни.

Входные данные: a, b, c. Выходные данные: x1, x2, x3, x4.

Для решения биквадратного уравнения необходимо заменой y = x^2 привести его к квадратному уравнению ay^2 + by + c = 0 и решить это уравнение.

Опишем алгоритм решения этой задачи (рис. 3.17):

Ввод коэффициентов биквадратного уравнения и (блок 1).
Вычисление дискриминанта уравнения (блок 2).
Если (блок 3), вывод сообщения, что корней нет (блок 4), а иначе определяются корни соответствующего квадратного уравнения и (блок 5).
Если и (блок 6), то вывод сообщения, что корней нет (блок 7).
Если $y_1 \ge 0$ и $y_2 \ge 0$ (блок 8), то вычисляются четыре корня по формулам $\pm \sqrt{y_1}, \pm \sqrt{y_2}$ (блок 9) и выводятся значения корней (блок 10).
Если условия 4) и 5) не выполняются, то необходимо проверить знак . Если (блок 11), то вычисляются два корня по формуле $\pm \sqrt{y_1}$ (блок 12), иначе (если ) вычисляются два корня по формуле $\pm \sqrt{y_2}$ (блок 13).
Вывод вычисленных значений корней (блок 14).

увеличить изображение
Рис. 3.17. Алгоритм решения биквадратного уравнения

Текст программы на языке Free Pascal с комментариями:

//Описание переменных:
//a,b,c - коэффициенты биквадратного уравнения,
//d - дискриминант,
//x1,x2,x3,x4 - корни биквадратного уравнения,
//y1,y2 - корни квадратного уравнения ay^2+by+c=0.
var
	a, b, c, d, x1, x2, x3, x4, y1, y2 : real;
begin
	//Ввод коэффициентов уравнения.
	writeln ( ’Введите коэффициенты биквадратного уравнения ’ );
	readln ( a, b, c );
	//Вычисление дискриминанта.
	d:=b * b-4*a*c;
	//Если он отрицателен,
	if d<0 then
		//вывод сообщения "Корней нет"
		writeln ( ’Корней нет ’ )
	//Если дискриминант >= 0,
	else
	begin
		//вычисление корней квадратного уравнения.
		y1:=(-b+sqrt ( d ) ) / 2 / a;
		y2:=(-b-sqrt ( d ) ) / ( 2 * a );
		//Если оба корня квадратного уравнения < 0,
		if ( y1 <0) and ( y2 <0) then
			//вывод сообщения "Корней нет".
			writeln ( ’Корней нет ’ )
		//Если оба корня квадратного уравнения >= 0,
		else if ( y1>=0) and ( y2>=0) then
		begin
			//вычисление четырех корней биквадратного уравнения.
			x1:= sqrt ( y1 );
			x2:=-x1;
			x3:= sqrt ( y2 );
			x4:=-sqrt ( y2 );
			//Вывод корней биквадратного уравнения на экран.
			writeln ( ’X1= ’, x1 : 6 : 3, ’ X2= ’, x2 : 6 : 3 );
			writeln ( ’X3= ’, x3 : 6 : 3, ’ X4= ’, x4 : 6 : 3 );
		end
		//Если не выполнились оба условия
		// 1. y1<0 И y2<0
		// 2. y1>=0 И y2>=0,
		//то проверяем условие y1>=0
		else if ( y1>=0) then
		//Если оно истинно
		begin
			x1:= sqrt ( y1 );
			x2:=-x1;
			writeln ( ’X1= ’, x1 : 6 : 3, ’   X2= ’, x2 : 6 : 3 );
		end
		else
		//Если условие y1>=0 ложно, то
		begin
			x1:= sqrt ( y2 );
			x2:=-x1;
			writeln ( ’X1= ’, x1 : 6 : 3, ’    X2= ’, x2 : 6 : 3 );
		end
	end
end.

Дальше >>

Авторизоваться

Программирование на Free Pascal и Lazarus

Операторы управления

Вопросы и ответы