Линейная зависимость векторов. Размерность и базис линейного пространства. Линейные операции в координатах

Линейная зависимость векторов. Размерность и базис линейного пространства

Определение 6. Векторы а₁, а₂, ..., а_к линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, при которых выполняется:

Определение 7. Если равенство (8.1) выполнимо лишь при всех , то векторы а₁, а₂, ..., а_к называются линейно независимыми.

Определение 8. Если имеет место равенство , то говорят, что вектор b является линейной комбинацией векторов а₁, а₂, ..., а_к, или линейно выражается через эти векторы.

Заметим, что если векторы а₁, а₂, ..., а_к линейно зависимы, то тогда, по крайней мере, один из векторов может быть линейно выражен через остальные. Это вытекает из самого определения 6, так как, если хотя бы один из , то на него можно выполнить деление остальных и тогда будем иметь , где . Верно и обратное утверждение, что если один из векторов линейно выражается через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Заметим, что если векторы a и b не коллинеарны или a, b и c не компланарны, то такие векторы являются линейно независимыми соответственно на плоскости или в пространстве.

Покажем это на примере трех некомпланарных векторов a, b и c. Доказательство проведем методом от противного, предположив, что указанные векторы хотя и не компланарны, но линейно зависимы. Тогда должно выполняться условие линейной зависимости векторов, т.е. и пусть при этом . Тогда на можно разделить левую и правую часть уравнения и в результате будем иметь выражение , которое противоречит определению 10 ( "" ), т.е. хотя векторы a, b и c не компланарны, но вектор a линейно выражается через два других b и c, что говорит (по определению 8) о их линейной зависимости. Из этого следует, что вектор a должен быть линейно независим с векторами b и c. Интересно, что в трехмерном пространстве любые четыре пространственных вектора будут линейно зависимыми.

Два ненулевых вектора a и b ортогональны, если они перпендикулярны (проекция вектора a на b и проекция вектора b на a равны нулю). Тогда записывают . Такие векторы всегда линейно независимы.

Если ненулевые векторы a, b и c попарно ортогональны , то тогда они образуют тройку линейно независимых векторов.

Определение 9. Рангом системы векторов называется максимальное количество ее линейно независимых векторов.

Определение 10. Линейное пространство называется n -мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, а всякая система, состоящая из большего количества векторов, является линейно зависимой в этом пространстве.

Например, векторы, лежащие на одной прямой, образуют одномерное пространство, в котором только один независимый вектор, а все остальные могут быть выражены линейными соотношениями через него. На плоскости множество векторов образует двумерное пространство, т.е. в этом пространстве определены только два независимых вектора.

Определение 11. Если пространство имеет конечное множество линейно независимых векторов, то его называют конечномерным, а если в нем можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, то - бесконечномерным.

Определение 12. Совокупность n линейно независимых единичных векторов n -мерного пространства называют базисом n -мерного пространства.

Заметим, что через базисные векторы могут быть выражены любые другие векторы, определяемые в данном базисе.

Теорема. Каждый вектор х линейного n -мерного пространства можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство теоремы состоит из двух частей. Сначала мы докажем возможность выразить любой произвольный вектор через базис линейного пространства, а затем, что разложение произвольного вектора по данному базису единственное.

Пусть произвольный базис n -мерного пространства R и некоторый произвольный вектор . Так как каждые n + 1 векторов n -мерного пространства R линейно зависимы (определение 6), то система, которую образуют векторы l₁, l₂, ..., l_n и x должна быть линейно зависимой. А это значит, что выполняется равенство

где - числа одновременно не равные нулю. При этом ясно, что , так как в противном случае хотя бы одно из чисел не равнялось бы нулю и тогда равенство (8.2) имело бы вид что, в свою очередь, показывало бы линейную зависимость базисных векторов. Выразим x из равенства (8.2), разделив на коэффициенты при l_i и перенеся их в правую часть. После выполнения указанных преобразований имеем

Положим . Тогда

Докажем теперь, что разложение (8.4) вектора x по данному базису l₁, l₂, ..., l_n единственное. Предположим, что вектор x в пространстве R имеет два различных разложения

Тогда вычтем из одного равенства другое, и так как в левых частях равенства стоит один и тот же вектор, то получим

следовательно, имеем систему

Последнее выражение полностью доказывает теорему.

Определение 13. Числа х₁, х₂, ..., х_n в разложении (8.4) вектора x по базису l₁, l₂, ..., l_n называют координатами вектора в этом базисе и обозначают как х = (х₁, х₂, ..., х_n).