Формулы Шеннона и типы линий передачи, в которых используются модемы

В первоначальном смысле модем (модулятор-демодулятор) – это устройство, преобразующее цифровые данные от компьютера в аналоговые сигналы перед их передачей по последовательной линии и, после передачи, производящее обратное преобразование. Основная цель преобразования состоит в согласовании полосы частот, занимаемой сигналами, с полосой пропускания линии передачи. Сигналы могут занимать всю полосу пропускания линии передачи либо ее часть (при частотном разделении каналов, например, в случае организации полностью дуплексного обмена). Кроме того, модемы должны обеспечивать необходимую амплитуду и мощность сигналов для достижения большого отношения сигнал/шум и, как следствие обоих перечисленных факторов (полосы частот и отношения сигнал/шум), возможно большей скорости передачи. Подчеркивание основной (но не единственной) выполняемой модемами функции в названии устройств данного типа исторически связано с наиболее распространенным вариантом подключения отдельных компьютеров либо локальных сетей к аналоговой телефонной линии и, через нее, к другим компьютерам и сетям, в том числе к глобальной сети Интернет. Возможно, однако, использование достаточно экзотичных ( по крайней мере, в настоящее время) линий передачи (силовая линия электропитания или система кабельного телевидения) и не менее экзотичных модемов для связи компьютеров (и других устройств), подключенных к той же линии. Развиваются цифровые телефонные сети и сети передачи данных, в которых функции модемов изменяются (в частности, модуляция/демодуляция заменяется кодированием), но базовое название, тем не менее, сохраняется.

Еще 5 лет назад трудно было предсказать, что станут практически доступными решения, обеспечивающие бурный рост скорости передачи информации по обычной аналоговой телефонной линии (более чем в 200 раз для технологии ADSL в сравнении со стандартом V.34). И это в условиях, когда, казалось бы, все резервы увеличения скорости были исчерпаны и достигнут теоретический предел скорости, определяемый теоремами Шеннона! Без сомнения, методы и средства обмена информацией между локальными сетями (или отдельными компьютерами) и глобальными сетями будут совершенствоваться и далее. Обзор доступных и перспективных технологий в этой области, представленный в данной главе, имеет целью не только их сравнительный анализ по характеристикам (прежде всего, по скорости передачи информации и расстоянию), но и пояснение принципов функционирования различных линий передачи, в которых используются модемы, и обеспечивается достижение предельных характеристик.

Формулы Шеннона для непрерывного и дискретного каналов

Формулы Шеннона представляют собой математические записи теорем кодирования Шеннона для дискретных и непрерывных сообщений, передаваемых по каналам с ограниченной пропускной способностью на фоне шумов и помех. Каналы в зависимости от типов сигналов на входе и выходе принято делить на дискретные, непрерывные и смешанные. В общей структурной схеме канала передачи (см. рис. 17.1) дискретными являются каналы от входа модулятора до выхода демодулятора и от входа кодера до выхода декодера. Непрерывный (аналоговый) канал – это собственно последовательная линия передачи (телефонная линия, скрученная пара проводов, коаксиальный кабель и др.). Дискретные каналы не являются независимыми от аналогового канала, который часто образует наиболее "узкое место" при передаче и из-за собственной ограниченной полосы пропускания, внешних шумов и помех определяет общую достижимую скорость передачи (при заданном допустимом уровне ошибок при приеме).

Рис. 17.1. Общая структурная схема канала передачи: 1 – непрерывный (аналоговый) канал; 2, 3 – дискретные каналы

Прежде, чем рассматривать формулы Шеннона, целесообразно обратиться к рис. 17.1 и пояснить функции отдельных устройств. Кодер/декодер в конкретной системе может совмещать, на первый взгляд, прямо противоположные функции. Во-первых, кодер может быть использован для внесения избыточности в передаваемую информацию с целью обнаружения влияния шумов и помех на приемном конце (там этим занимается соответствующий декодер). Избыточность проявляется в добавлении к передаваемой полезной информации так называемых проверочных разрядов, формируемых, как правило, аппаратными средствами из информационной части сообщения. Известно много различных помехоустойчивых кодов, причем самый простой из них однобитовый (бит четности/нечетности) далеко не всегда удовлетворительно работает на практике. Вместо него в локальных сетях используются контрольная сумма или циклический код (CRC – Cyclic Redundancy Check), занимающий в формате передаваемого сообщения 2 или 4 байта, независимо от длины в байтах информационной части сообщения. При больших объемах передаваемой информации целесообразно сжать ее до передачи. В этом случае говорят уже о статистическом кодировании. Здесь уместна аналогия с обычными программами архивации файлов (типа arj, rar, pkzip и др.), которые широко используются при организации обмена в Интернет. Если проблема с большими объемами информации и после такого обратимого сжатия до конца не решается, можно рассмотреть возможность необратимого сжатия информации с частичной ее потерей ("огрублением"). Конечно, здесь не идет речь об отбрасывании части цифровых данных, но по отношению к изображениям иногда можно пойти на снижение разрешения (числа пикселей) без искажения общего вида "картинки". Понятно, что оба типа кодирования (помехоустойчивое избыточное кодирование и статистическое кодирование) служат, в конечном счете, решению одной задачи – повышению качества передачи как в смысле отсутствия или минимального допустимого уровня ошибок в принятом сообщении, так и в смысле максимального использования пропускной способности канала передачи. В высокоскоростных модемах нередко реализуются оба типа кодирования. Что касается функций модулятора/демодулятора на рис. 17.1, то они, как уже было сказано, включают согласование полосы частот, занимаемой сигналами, с полосой пропускания линии передачи. Кроме того, выходные каскады передатчиков (после модуляторов) реализуют усиление сигналов по мощности и амплитуде, это одно из средств увеличения отношения сигнал/шум. Действительно, ничто (кроме, пожалуй, техники безопасности) не заставляет разработчиков придерживаться в аналоговом канале столь жестких ограничений сигналов по амплитуде, как в дискретных (цифровых) каналах (от 0 до +5В при использовании аппаратуры в стандарте ТТЛ). Например, для распространенного стандарта последовательного порта компьютера RS-232C предусмотрена "вилка" амплитуд от –(3...12) В до +(3...12) В. Конечно, это касается амплитуд вблизи передатчика, в то время как вблизи приемника амплитуда сигналов может быть существенно ослаблена.

Формула Шеннона для непрерывного (аналогового) канала достаточна проста:

где V_макс – максимальная скорость передачи (бит/сек), – полоса пропускания линии передачи и, одновременно, полоса частот, занимаемая сигналами (если не используется частотное разделение каналов), S/N – отношение сигнал/шум по мощности. График этой зависимости приведен на рис. 17.2(формуле Шеннона соответствует кривая под названием " теоретический предел ").

Рис. 17.2. Зависимость максимальной скорости передачи Vмакс для аналоговой линии от отношения сигнал-шум по мощности S/N

Под шумом понимается любой нежелательный сигнал, в том числе внешние помехи или сигнал, вернувшийся к передающему устройству – может быть и модему – в результате отражения от противоположного конца линии. Сами по себе сосредоточенные помехи не столь существенно ограничивают пропускную способность аналогового канала, как непредсказуемый в каждый момент времени белый гауссовский шум. "Умные" высокоскоростные модемы умеют, как будет отмечено в дальнейшем, определять уровень и задержку "своих" отраженных сигналов и компенсировать их влияние.

Формула Шеннона для многопозиционного дискретного канала, построенного на базе предыдущего непрерывного канала, в отсутствие ошибок при приеме, имеет следующий вид:

Здесь n – общее число вариантов дискретного (цифрового) сигнала (алфавит). Если за время одной посылки (длительность элементарного аналогового сигнала типа отрезка синусоиды) передается информация о k двоичных разрядах, то n=2^k. Практически расширение алфавита для дискретных сигналов приводит к появлению все менее различимых элементарных посылок, так что величина n ограничивается сверху все тем же отношением сигнал/шум S/N в аналоговом канале.

При учете ошибок при приеме формула Шеннона для многопозиционного дискретного канала, построенного на базе непрерывного канала, имеет следующий вид:

Здесь p_ош – отношение числа бит, принятых с ошибками, к общему числу переданных бит за время наблюдения, теоретически стремящееся к бесконечности, а практически достаточное для набора статистики. Согласно стандарта ITU-T для телефонных сообщений должно выполняться условие p_ош<=3*10^-5, а для цифровых данных p_ош<=10^-6 (в отдельных случаях для критичных данных этот порог уменьшают до 10^-9 ). При выполнении требований стандартов влиянием ошибок при приеме на максимально-допустимую скорость передачи можно полностью пренебречь и от соотношения (3) перейти к более простому соотношению (2). В частном случае бинарного канала ( k=1, n=2 ) при p_ош=1/2 из соотношения (3) следует, что V_макс=0, а при p_ош->0 и при p_ош->1 . Физический смысл такой зависимости состоит в том, что при p_ош=1/2 принятый сигнал не содержит полезной информации (каждый из принятых битов может оказаться ошибочным). При p_ош->1 (гипотетический случай, имеющий сугубо теоретический интерес) каждый бит с большой вероятностью инвертируется и доля полезной информации снова возрастает.

Формулы Шеннона показывают, что наиболее эффективный способ повышения максимальной скорости передачи V_макс состоит в увеличении полосы пропускания линии передачи . Логарифмическая зависимость V_макс от отношения сигнал/шум S/N делает этот путь повышения V_макс гораздо менее перспективным и более трудоемким. Однако на практике редко возможен свободный выбор линии передачи, который с точки зрения реализации максимальной скорости передачи однозначно сводится к использованию оптоволокна (ВОЛС). На практике чаще всего имеется телефонная линия, по которой и нужно организовать передачу с применением модемов. Аналоговая телефонная линия (точнее, тракт передачи, функционирующий на этой линии, с учетом фильтров) имеет фиксированную полосу пропускания Гц, поэтому приходится бороться именно за повышение отношения сигнал/шум. Да и то хороший результат сам по себе не гарантирован, так как речь идет о реализации возможностей, близких к теоретическому пределу. Практический предел отношения сигнал/ шум в аналоговой телефонной линии составляет примерно 35 дБ (более 3000 раз по мощности или более 56 раз по амплитуде), что соответствует максимальной скорости бит/сек (стандартное значение, реализуемое на практике, 33600 бит/сек). Популярные в настоящее время 56К – модемы реализуют заявленную скорость только в одну сторону – от провайдера (из сети) до пользователя и только при условии работы провайдера непосредственно на цифровой, несколько более широкополосной, линии передачи (чудес не бывает!).