Криптографические алгоритмы с открытым ключом и их использование

Цель лекции: изучить принципы работы некоторых криптографических алгоритмов с открытым ключом.

Алгоритм RSA

Основные сведения

Алгоритм шифрования с открытым ключом RSA был предложен одним из первых в конце 70-х годов ХХ века. Его название составлено из первых букв фамилий авторов: Р.Райвеста (R.Rivest), А.Шамира (A.Shamir) и Л.Адлемана (L.Adleman). Алгоритм RSA является, наверно, наиболее популярным и широко применяемым асимметричным алгоритмом в криптографических системах.

Алгоритм основан на использовании того факта, что задача разложения большого числа на простые сомножители является трудной. Криптографическая система RSA базируется на следующих двух фактах из теории чисел:

1. задача проверки числа на простоту является сравнительно легкой;
2. задача разложения чисел вида n = pq ( р и q — простые числа); на множители является очень трудной, если мы знаем только n, а р и q — большие числа (это так называемая задача факторизации, подробнее о ней см. "Основные положения теории чисел, используемые в криптографии с открытым ключом" ).

Алгоритм RSA представляет собой блочный алгоритм шифрования, где зашифрованные и незашифрованные данные должны быть представлены в виде целых чисел между 0 и n -1 для некоторого n.

Шифрование

Итак, рассмотрим сам алгоритм. Пусть абонент А хочет передать зашифрованное сообщение абоненту Б. В этом случае абонент Б должен подготовить пару (открытый ключ; закрытый ключ) и отправить свой открытый ключ пользователю А.

Первым этапом является генерация открытого и закрытого ключей. Для этого вначале выбираются два больших простых числа Р и Q. Затем вычисляется произведение N:

N = PQ.

После этого определяется вспомогательное число f:

f = (Р - l)(Q - 1).

Затем случайным образом выбирается число d < f и взаимно простое с f.

Далее необходимо найти число е, такое, что

еd mod f = 1.

Числа d и N будут открытым ключом пользователя, а значение е – закрытым ключом.

Таким образом, на этом этапе у пользователя должна быть информация, указанная в следующей таблице:

Так как пользователь Б хочет получить зашифрованное сообщение от пользователя А, значит пользователь Б должен отправить свой открытый ключ (d, N) пользователю А. Числа Р и Q больше не нужны, однако их нельзя никому сообщать; лучше всего их вообще забыть.

На этом этап подготовки ключей закончен и можно использовать основной протокол RSA для шифрования данных.

Второй этап – шифрование данных. Если абонент А хочет передать некоторые данные абоненту Б, он должен представить свое сообщение в цифровом виде и разбить его на блоки m₁, m₂, m₃, ... , где m_i < N. Зашифрованное сообщение будет состоять из блоков с_i.

Абонент А шифрует каждый блок своего сообщения по формуле

ci = mid mod N

используя открытые параметры пользователя Б, и пересылает зашифрованное сообщение С=(с₁, с₂, с₃, ...) по открытой линии.

Абонент Б, получивший зашифрованное сообщение, расшифровывает все блоки полученного сообщения по формуле

mi = ce mod N

Все расшифрованные блоки будут точно такими же, как и исходящие от пользователя А.

Злоумышленник, перехватывающий все сообщения и знающий всю открытую информацию, не сможет найти исходное сообщение при больших значениях Р и Q.

Пример вычислений по алгоритму

Пусть пользователь А хочет передать пользователю Б сообщение. В этом случае вначале пользователь Б должен подготовить открытый и закрытый ключи. Пусть им выбраны, например, следующие параметры:

Р = 3, Q = 11, N = 3x11 = 33.

Тогда f = (Р - l)(Q - 1) = (3-1)(11-1) = 20.

Затем пользователь Б выбирает любое число d, не имеющее общих делителей с f (это необходимо для того, чтобы зашифрованное сообщение можно было потом однозначно восстановить). Пусть d = 13. Это число будет одним из компонентов открытого ключа.

Далее необходимо найти число е, которое можно будет использовать в качестве закрытого ключа для расшифрования сообщения. Значение е должно удовлетворять соотношению

еd mod f = 1.

Для малых значений f число е можно найти подбором. В общем случае для поиска е можно использовать обобщенный алгоритм Евклида, приведенный в "Основные положения теории чисел, используемые в криптографии с открытым ключом" . В нашем случае подходит е=17. (Проверяем: 13*17 mod 20 = 221 mod 20 = 1.)

Теперь пользователь Б должен запомнить свой закрытый ключ 17, отправить открытый ключ (13, 33) пользователю А и уничтожить числа Р = 3 и Q = 11.

Пользователь А, получивший открытый ключ (13, 33), увидев, что N=33, разбивает исходное сообщение на три блока, причем значение каждого меньше N. Например, пусть имеется три блока m₁=8, m₂=27, m₃,=5. Затем пользователь А шифрует каждый блок:

c1=813 mod 33 = 17
c2 = 2713 mod 33 = 15
c3 = 513 mod 33 = 26

Зашифрованное сообщение, состоящее из трех блоков (17, 15, 26), передается пользователю Б, который, используя свой закрытый ключ е = 17 и N=33, расшифровывает сообщение:

m1 = 1717 mod 33 = 8
m2 = 1517 mod 33 = 27
m3 = 2617 mod 33 = 5

Таким образом, абонент Б расшифровал сообщение от абонента А.