Высказывания и предикаты

Информатика, как было рассмотрено выше, изучает знаковые (алфавитные) системы. Алгебра – наиболее адекватный математический аппарат описания действий в них, поэтому алгебраический аппарат наилучшим образом подходит для описания информационных систем общей природы, отвлеченно от их предметной направленности. Информационные процессы хорошо формализуются с помощью различных алгебраических структур.

Алгеброй A называется некоторая совокупность определенных элементов X, с заданными над ними определенными операциями f (часто определяемые по сходству с операциями сложения и умножения чисел), которые удовлетворяют определенным свойствам – аксиомам алгебры.

Операция f называется n-местной, если она связывает n операндов (объектов – участников этой операции).

Совокупность операций алгебры A называется ее сигнатурой, а совокупность элементов алгебры – носителем алгебры.

Утверждение ( высказывательная форма ) – основная единица, неделимая с точки зрения отражения смысла информации (семантики).

Высказывание – некоторое повествовательное утверждение, про которое можно однозначно сказать ("сразу посмотрев на него"), истинно оно или ложно. Эти два значения всевозможных высказываний обозначаются "истина" и "ложь", "true" и "fаlse" или "1" и "0".

Переменная, значениями которой могут быть лишь значения "1" или "0", называется логической переменной или булевой переменной.

Пример. Рассмотрим словосочетания:

1. Москва – столица США.
2. Житель города Москва.
3. 5 – 7 + 8.
4. 5 – 9 + 28 = 4.
5. В пятую неделю зимы было очень холодно.
6. В Антарктиде живут тигры.

Высказывание должно быть однозначно истинным или однозначно ложным, поэтому высказываниями являются только утверждения 1), 4), 6).

Пример. Не является высказыванием и "парадокс лжеца" (Эвбулид, учитель Демосфена, около 350 лет до н.э.): "То, что я сейчас утверждаю, – ложно", ибо если оно истинно – то оно ложно, а если допустить, что оно ложно, то оно истинно. Это неопределенная высказывательная форма. Аналогичный пример принадлежит известному математику, логику Гёделю (1931 г.): "То, что утверждается в этом предложении, не может быть доказано". Если его можно опровергнуть, то его нельзя доказать, а если его нельзя опровергнуть, то его можно доказать. Предложения такого рода не могут быть доказаны или опровергнуты в пределах того языка (той теории, алгебры ), с помощью которой они сформулированы. Известны многие подобные парадоксы.

Рассматривая высказывания, мы не обращаем внимания на их внутреннюю структуру и можем разлагать их на структурные части, равно как и объединять их.

Пример. Построим из ниже заданных простых высказываний составные, сложные высказывания, принимающие значение "истина", "ложь":

1. "Зима – холодное время года".
2. "Пальто – теплая одежда".
3. "Камин – источник тепла".

Истинным будет, например, сложное высказывание: "Зима – холодное время года и зимой носят пальто", а ложным будет, например, высказывание: "Некоторые ходят в пальто, поэтому на улице зима". Придумайте другие примеры.

Предикат – высказывательная форма с логическими переменными (множество значений этих переменных вполне определено), имеющая смысл при любых допустимых значениях этих переменных. Количество переменных в записи предиката называется его местностью.

Простые высказывания или предикаты не зависят от других высказываний или предикатов ("не разбиваемы на более простые"), а сложные – зависят хотя бы от двух простых.

Пример. Выражение "х = у" – предикат, "х > 5" – предикат, а "7 > 5" – высказывание. Утверждение "Хорошо" не является высказыванием, утверждение "Оценка студента А по информатике – хорошая" – простое высказывание, утверждение "Вчера была ясная погода, я был вчера на рыбалке" – сложное высказывание, состоящее из двух простых.

Логической (булевой) функцией f(х) называется некоторая функциональная зависимость, в которой аргумент х – логическая переменная с заданным множеством изменений аргумента, а значения функции f(x) берутся из двухэлементного множества R(f) = {1,0}.

Пример. Заданы предикаты вида р = "число х делится нацело на 3" и q = "у – день недели". Найдем множество истинности предикатов р и q, если , . Получаем, что , .

Множество логических переменных с определенными над ним операциями: – отрицания или инверсии, – логического сложения или дизъюнкции, – логического умножения или конъюнкции называется алгеброй предикатов (и высказываний ) , если эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:

1. Аксиома двойного отрицания:

   

2. Аксиомы переместительности операндов (относительно операций дизъюнкции и конъюнкции ):

   

3. Аксиомы переместительности операций дизъюнкции и конъюнкции (относительно операндов):

   

4. Аксиомы одинаковых операндов:

   

5. Аксиомы поглощения (множителем — множителя-суммы или слагаемым — слагаемого-произведения):

   

6. Аксиомы распределения операции ( дизъюнкции относительно конъюнкции и наоборот):

   

7. Аксиомы де Моргана (перенесения бинарной операции на операнды):

   

8. Аксиомы нейтральности (взаимноинверсных множителей или слагаемых):

   

9. Аксиома существования единицы ( истина, true, 1) и нуля ( ложь, false, 0), причем,

   

Из этих аксиом следует ряд полезных соотношений, например,