НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 13: Оптимальные каркасы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: платный | Студентов: 39 / 2 | Оценка: 4.44 / 4.11 | Длительность: 13:45:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Задача об оптимальном каркасе. Алгоритм Прима. Алгоритм Крускала.

Задача об оптимальном каркасе

Задача об оптимальном каркасе (стягивающем дереве) состоит в следующем. Дан обыкновенный граф G=(V,E) и весовая функция на множестве ребер $w:V\texto R$ . Вес множества $X\subseteq E$ определяется как сумма весов составляющих его ребер. Требуется в графе найти каркас минимального веса. В этом разделе будем предполагать, что граф связен, так что решением задачи всегда будет дерево. Для решения задачи об оптимальном каркасе известно несколько алгоритмов. Рассмотрим два из них.

Алгоритм Прима

В алгоритме Прима на каждом шаге рассматривается частичное решение задачи, представляющее собой дерево. Вначале это дерево состоит из единственной вершины, в качестве которой может быть выбрана любая вершина графа. Затем к дереву последовательно добавляются ребра и вершины, пока не получится остовное дерево, т.е. каркас. Для того чтобы из текущего дерева при добавлении нового ребра опять получилось дерево, это новое ребро должно соединять вершину дерева с вершиной, еще не принадлежащей дереву. Такие ребра будем называть подходящими относительно рассматриваемого дерева. В алгоритме Прима применяется следующее правило выбора: на каждом шаге из всех подходящих ребер выбирается ребро наименьшего веса. Это ребро вместе с одной новой вершиной добавляется к дереву. Если обозначить через и множества вершин и ребер строящегося дерева, то алгоритм Прима можно представить следующим образом.

Алгоритм 1. Построение оптимального каркаса методом Прима

$U\, :=\{ a\}$ , где - произвольная вершина графа
$F\, :=\varnothing$
while $U\ne V$ do
найти ребро наименьшего веса среди всех подходящих ребер
$F\, :=F\cup \{ e\}$
$U\, :=U\cup \{ y\}$

Докажем, что алгоритм Прима действительно находит оптимальный каркас. Дерево назовем фрагментом, если существует такой оптимальный каркас $T_{0}$ графа , что является подграфом дерева $T_{0}$ . Иначе говоря, фрагмент - это дерево, которое можно достроить до оптимального каркаса.

Теорема 1. Если - фрагмент, - подходящее ребро наименьшего веса относительно , то $F\cup \{ e\}$ - фрагмент.

Доказательство. Пусть $T_{0}$ - оптимальный каркас, содержащий в качестве подграфа. Если ребро принадлежит $T_{0}$ , то $F\cup \{e\}$ - подграф $T_{0}$ и, следовательно, фрагмент. Допустим, не принадлежит $T_{0}$ . Если добавить ребро к дереву $T_{0}$ , то образуется цикл. В этом цикле есть еще хотя бы одно подходящее ребро относительно (никакой цикл, очевидно, не может содержать единственное подходящее ребро). Пусть - такое ребро. Тогда подграф $T'_{0} =T_{0}-e'+e$ , получающийся из $T_{0}$ удалением ребра и добавлением ребра , тоже будет деревом. Так как $w(e')\ge w(e)$ , то $w(T'_{0})\le w(T_{0})$ . Но $T_{0}$ - оптимальный каркас, следовательно, $w(T'_{0} )=w(T_{0})$ и $T'_{0}$ - тоже оптимальный каркас. Но $F\cup \{ e\}$ является подграфом графа $T'_{0}$ и, следовательно, фрагментом.

Дерево, состоящее из единственной вершины, очевидно, является фрагментом. Из теоремы 1 следует, что если после некоторого количества шагов алгоритма Прима дерево является фрагментом, то оно будет фрагментом и после следующего шага. Следовательно, и окончательное решение, полученное алгоритмом, будет фрагментом, т.е. оптимальным каркасом.

Дальше >>

Авторизоваться

Графы и алгоритмы

Оптимальные каркасы

Задача об оптимальном каркасе

Алгоритм Прима

Вопросы и ответы