НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 3: Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса)

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1275 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

и единственную на данном шаблоне схему третьего порядка аппроксимации с порядком $O(\tau + h^{3})$ :

${\alpha_{- 2} = \frac{{{\sigma}\cdot \left({{\sigma}- 1}\right)}}{6}.}$

( 3.16)

Остальные коэффициенты находятся с использованием (3.15) и (3.16).

Введем пространство коэффициентов $(\alpha_{- 2},{\alpha}_0)$ . Тогда любая точка в этом пространстве есть разностная схема с порядком аппроксимации $O(\tau + h)$ . Прямая (3.15) отделяет в пространстве множество схем с порядком $O(\tau + h^{2})$ (рис. 3.2), на ней лежит единственная точка — аппроксимация $O(\tau + h^{3})$ . Должна быть также и точка с порядком аппроксимации $O(\tau ^{2} + h^{2})$ .

Зафиксируем какое - либо число Куранта, например, $\sigma = 0, 5$ . Применим к разностной схеме (3.14) с неопределенными коэффициентами спектральный признак устойчивости (фон Неймана). Получится кривая, которая определяет границу устойчивости разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов.

Рис. 3.2.

Для схем первого порядка выпишем первое дифференциальное приближение:

$u^{\prime}_t + au^{\prime}_x = \frac{{h^2}}{\tau}(1 - {\sigma}^2 -{\alpha}_0 + 3{\alpha}_{- 1})u^{\prime\prime}_{xx} .$

Можно также выделить множество таких схем, что ${\alpha}_{\mu}\ge 0$ . Это — монотонные схемы (заштрихованный многоугольник на рис. 3.2). Среди монотонных схем можно найти схему с наименьшей ошибкой аппроксимации. Это точка многоугольника, которая при данном $\sigma$ лежит ближе всего к прямой со схемами второго порядка аппроксимации.

Закончим рассмотрение примера с модельным линейным уравнением переноса:

u'_t + cu'_x = 0.

На выбранном шаблоне любая разностная схема, как указывалось ранее, представляется в виде

$u_m^{n + 1} = \sum\limits_{\mu \in III}{\alpha}_{\mu} u_{m + \mu}^{n}.$

В случае монотонной схемы можно оценить норму погрешности. Заметим, что погрешность v определяется тем же разностным уравнением (3.14), тогда с использованием первой нормы (максимум абсолютной величины)

$\| v^{n + 1}\| = \| v^{n}\| \sum\limits_{\mu \in III}{\alpha}_{\mu}$

в силу аппроксимации

$\sum\limits_{\mu \in III}{\alpha}_{\mu}\le 1.$

Отсюда следует, что монотонные разностные схемы всегда устойчивы. В общем случае можно рассматривать многослойные шаблоны для уравнения переноса (рис. 3.3)

$u_m^{n + 1} = \sum\limits_{\mu,{\nu} \in III}{\alpha}_{\mu}^{\nu} u_{m + \mu}^{n +{\nu}}$

и записывать условия порядка для аппроксимации соответствующего порядка:

$\begin{gather*} \delta_0 = - 1 + \sum\limits_{\mu,{\nu} \in III}{\alpha}_{\mu}^{\nu} = 0, \\ \delta_1 = {\sigma}+ \sum\limits_{\mu,{\nu} \in III} (\mu - {\nu}\sigma){\alpha}_{\mu}^{\nu} \end{gather*}$

Рис. 3.3.

Исключая два коэффициента из условий порядка, можно от пространства неопределенных коэффициентов $\{{\alpha}_{\mu}^{\nu} \}$ перейти к пространству $\{\tilde{\alpha}_{\mu}^{\nu} \}$ , размерность которого на 2 меньше, например:

$\begin{gather*} {\alpha}_{- 1}^0 = \frac{1}{2} \left({1 + \sigma- \sum (\mu - \nu \sigma) {\alpha}_{\mu}^{\nu}}\right), \\ {\alpha}_1^0 = \frac{1}{2} \left({1 - \sigma- \sum (\mu - \nu \sigma ){\alpha}_{\mu}^{\nu} }\right), \end{gather*} $$

где, конечно, точки (0; - 1) и (0; 1) не включаются в суммирование. Условие устойчивости в пространстве неопределенных коэффициентов имеет вид

$|q({\alpha}_{\mu}^{\nu} , {\varphi})| \le 1,$

где q есть спектр оператора послойного перехода. Эта величина определяется из условия

$q = \sum\limits_{\mu ,{\nu} }{q^{\nu} e^{i \mu {\varphi}}}$

и дополнительного требования

$\frac{{\partial}}{{\partial}{\varphi}}(|q| - 1) = 0.$

Основная гипотеза: Разностным схемам, которым в пространстве $\{\tilde{\alpha}_{\mu}^{\nu} \},$ соответствуют близкие друг к другу точки (в смысле ${\rho} = \sqrt{(\tilde{\alpha}_1, \tilde{\alpha}_1 ) - (\tilde{\alpha}_2, \tilde{\alpha}_2 )}$ ) по своим свойствам также близки.

Расширяя шаблон, как и в случае пятиточечного шаблона, можно строить области схем высокого порядка аппроксимации, монотонные схемы ( ${\alpha}_{\mu}^{\nu} \ge 0$ ) и т.д.

Монотонные разностные схемы в пространстве неопределенных коэффициентов занимают некий выпуклый многоугольник, вершины которого определяются довольно просто: это все возможные при данном числе Куранта $\sigma$ трехточечные разностные схемы, причем для характеристики, проходящей через $u_m^{n + 1}$ , одна точка схемы лежит выше (левее) характеристики, а другая ниже (правее), см. рис. 3.3.

Метод построения разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов для квазилинейных систем уравнений гиперболического типа (к ним относятся системы уравнений механики сплошных сред, в частности, газовой динамики, механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и т.п.) допускает обобщение и на многомерные случаи. Подробное описание можно найти в монографии [13.9]. Здесь же многомерные обобщения рассматриваться не будут. Они приводят к эффективным численным методам для нестационарных многомерных задач.

Исследовав схемы (3.14) на устойчивость по спектральному признаку, получаем множество устойчивых схем, а потребовав выполнения условия ${\alpha}_k \ge 0$ для всех точек шаблона, получаем множество схем с положительной аппроксимацией (монотонных по Фридрихсу схем). На рассматриваемом шаблоне устойчивые схемы существуют при $2 \ge {\sigma} > 0$ (для a > 0 ).

Множество схем с положительной аппроксимацией не пересекается с множеством схем с порядком аппроксимации выше первого, как это следует из теоремы С.К. Годунова.

Первое дифференциальное приближение. Дисперсионная и диссипативная ошибки

Поскольку решения дифференциальной задачи и разностного уравнения принадлежат разным функциональным пространствам, что порождает определенные трудности при теоретическом анализе свойств разностных схем, для такого исследования возможно рассматривать разностные операторы в том же пространстве. Будем считать, что разностные схемы удовлетворяются функциями непрерывного аргумента в каждой точке рассматриваемой области.

Обычно ограничиваются рассмотрением уравнений, в которых оставлены члены в разложении в ряд Тейлора проекции точного решения на сетку по $\tau$ и h, порядок которых совпадает с порядком погрешности аппроксимации схемы. Получающиеся при этом уравнения называют первым дифференциальным приближением (ПДП).

Для схемы первого порядка (5) при выполнении условия (6) первым дифференциальным приближением будет

$u^{\prime}_t + a \cdot u^{\prime}_x = \delta_1 \cdot h \cdot u^{\prime\prime}_{{x}{x}} \mbox{, где } \delta_1 = {const}.$

( 3.17)

Из уравнения (3.17) исключены члены со второй производной u'_tt, с использованием так называемой продолженной системы:

$\begin{gather*} (u^{\prime}_t + a \cdot u^{\prime}_x )^{\prime}_x = 0, \\ (u^{\prime}_t + a \cdot u^{\prime}_x )^{\prime}_t = 0. \end{gather*}$

Иногда уравнение (3.17) называют $\Pi$ - формой (параболической формой) первого дифференциального приближения. Если производные по времени не исключаются из ПДП, то имеем Г - форму (гиперболическую форму) ПДП, которая, как правило, не применяется в исследованиях как малоинформативная.

При $\delta_1 > 0$ уравнение (3.17) можно трактовать как присутствие в схеме некоторой диссипации ( схемной вязкости ). Ее наличие проявляется в расчетах в виде размазывания точного решения, причем его интенсивность увеличивается при ухудшении аппроксимации (увеличении шага h ). В этом случае говорят, что ошибка схемы носит диссипативный характер. Если схемная вязкость получается отрицательной, то приходим к обратной задаче теплопроводности. Как известно из курсов математической физики, такая задача поставлена некорректно. А соответствующая разностная схема при исследовании по спектральному признаку оказывается неустойчивой — по ПДП можно сделать вывод об устойчивости схемы.

Для более высокого (второго) порядка ПДП имеет вид

${u^{\prime}_t + a \cdot u^{\prime}_x = \delta_2 \cdot h^2 \cdot u^{\prime\prime\prime}_{xxx}.}$

( 3.18)

Уравнение (3.18) обладает дисперсией, т.е. разные пространственные гармоники разложения начального возмущения в ряд Фурье распространяются по сетке с разными скоростями. Говорят, что ошибка носит дисперсионный характер. Сеточная дисперсия легко получается, если искать частное решение последнего уравнения в виде комплексной экспоненты: $u = \lambda (t) exp(ikx\} )$ . Подробнее о ПДП в [13.4].

Интересна связь ПДП и исследования свойств схем в пространствах неопределенных коэффициентов. Так, для схем первого порядка расстояние от точки в пространстве неопределенных коэффициентов до прямой схем высокого порядка (3.15) по абсолютной величине равен коэффициенту $\delta_1$ в уравнении (3.17), а знак определяется положением внутри области устойчивости.

Понятие о гибридных схемах

Численные расчеты по разностным схемам высокого порядка показывают, что осцилляции нефизического характера появляются в окрестности разрывов решения или его первой производной. В связи с этим возникает идея построения численного метода, имеющего высокий порядок аппроксимации на участках гладкого решения, в то время как в окрестности разрывов функций или их производных применяется монотонная схема (с положительной аппроксимацией) первого порядка.

Можно формализовать этот подход:

$\begin{gather*} u_m^{n + 1} = \sum\limits_{p = - 2}^1 {\left({\gamma \cdot {\alpha} (1)_p + (1 - \gamma ) \cdot{\alpha} (2)_p }\right) \cdot u_{{m} + {p}}^{n}} \\ \gamma = \frac{{1 + \left({2 \cdot b - 1}\right)}}{{2 \cdot \left| {2 \cdot b - 1}\right|^{({k} - 1)/{k}}}} \\ b = \frac{{\left|{\left| {u_{{m} + 1}^{n} - u_m^{n}}\right| - \left|{u_m^{n} - u_{m - 1}^{n}}\right|}\right|}}{{\left| {u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}}\right| + \left|{u_m^{n} - u_{m - 1}^{n}}\right|}}, \end{gather*}$

где ${\alpha} (1)_p$ — коэффициенты первой схемы (высокого порядка аппроксимации), применяемой в области гладкого решения, ${\alpha} (2)_p$ — коэффициенты второй (монотонной) схемы, $\gamma$ — весовой коэффициент, вспомогательный параметр b характеризует гладкость решения (очевидно, что b = 0, при $u \equiv {const}$ ), k — коэффициент гибридности — целое число из диапазона $2 \le {k} \le 10$ .

При этом реализовано достаточно гладкое переключение со схем высокого порядка аппроксимации на монотонные схемы.

Дальше >>

Авторизоваться

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса)

Вопросы и ответы