Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1275 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик

Лекция 2: Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности

2.3. Разностные схемы для численного решения многомерного уравнения теплопроводности

Численное решение даже простейших уравнений параболического типа сильно усложняется, если в задаче имеется в наличии более одного пространственного измерения. Условие устойчивости для многомерных схем накладывает столь жесткие ограничения на шаги по времени, что расчет по ним практически невозможен. Необходимо применять неявные схемы. Представим разностную схему для численного решения двумерного уравнения теплопроводности

$  \frac{{\partial}u}{{\partial}t} = \frac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2} + \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}y^2}}  $

в виде

$  
 \frac{{u_{ml}^{n + 1} - u_{ml}^{n}}}{\tau} = {{{\Lambda}}}_1 u_{ml}^{n + 1} + {{{\Lambda}}}_2 u_{ml}^{n + 1},   $

здесь

$  
{{{\Lambda}}}_1 u_{ml}^{n + 1} = \frac{{u_{m - 1, l}^{n + 1} - 2u_{{m, l}}^{n + 1} + u_{m + 1, l}^{n + 1}}}{{h_x^2}}, {{{\Lambda}}}_2 u_{ml}^{n + 1} = \frac{{u_{m, l - 1}^{n + 1} - 2u_{ml}^{n + 1} + u_{m, l + 1}^{n + 1}}}{{h_y^2}}.  $

Получена линейная система с разреженной (блочной) матрицей. Однако вид этой матрицы таков, что алгоритм пятиточечной прогонки в данном случае не применим.

Можно предложить схему расщепления по направлениям, или локально - одномерную схему ( метод дробных шагов, Н.Н.Яненко [12.7]):

$  \frac{\tilde{u}_{ml} - u_{ml}^n}{\tau} = {{\Lambda}}_1 \tilde{u}_{ml},  \frac{u_{ml}^{n + 1} - \tilde {u}_{ml}}{\tau} = {{\Lambda}}_2 u_{ml}^{n + 1}.  $

Соответствующий пространственный шаблон схемы будет


Рис. 2.3.

Для аналогичной трехмерной задачи

$   \frac{{\partial}u}{{\partial}t} = \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}x^2}} +  \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}y^2}} + \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}z^2 }}  $

можно предложить локально - одномерную схему дробных шагов

\begin{gather*}
 \frac{{u_{mlp}^{n + 1/3} - u_{mlp}^{n}}}{\tau} = {{{\Lambda}}}_1 u_{mlp}^{n + 1/3}, \quad \frac{{u_{mlp}^{n + 2/3} - u_{mlp}^{n + 1/3}}}{\tau} = {{{\Lambda}}}_2 u_{mlp}^{n + 2/3},  \\ 
 \frac{{u_{mlp}^{n + 1} - u_{mlp}^{n + 2/3}}}{\tau} = {{{\Lambda}}}_3 u_{mlp}^{n + 1} .
\end{gather*}

Порядок аппроксимации этих схем: O(\tau, h_x^2, h_y^2) в двумерном случае и O(\tau, h_x^2, h_y^2, h_{z}^2) — в трехмерном.

Порядок аппроксимации этой схемы по времени можно увеличить до второго, если провести усреднение операторов \Lambda_i u_{mlp}^{n} (i = 1  \div  3), аппроксимирующих вторые производные по координатам x_{i} (i = 1 \div  3):

\begin{gather*}
 \frac{u_{mlp}^{n + 1/3} - u_{mlp}^{n}}{\tau} = \Lambda_1 [\xi u_{mlp}^{n + 1/3} + 
(1 - \xi) u_{mlp}^{n}],  \\ 
 \frac{u_{mlp}^{n + 2/3} - u_{mlp}^{n + 1/3}}{\tau} = \Lambda_2 [\xi u_{mlp}^{n + 2/3} + 
(1 - \xi) u_{mlp}^{n + 1/3}],  \\ 
 \frac{u_{mlp}^{n + 1} - u_{mlp}^{n + 2/3}}{\tau} = \Lambda_3 [\xi u_{mlp}^{n + 1} + 
(1 - \xi) u_{mlp}^{n + 2/3}], 
\end{gather*}

где 0 \le \xi \le 1, причем при \xi  = 1/2 порядок аппроксимации схемы будет O(\tau, h_{x^2}, h_{y^2}, h_{z}^2) Эта схема Кранка - Никольсон устойчива при любых \tau , h_{x}, h_{y}, h_{z} ; ее шаблон для двумерной задачи

\begin{gather*}
 \frac{{u_{ml}^{n + 1/2} - u_{ml}^{n}}}{\tau} = {{{\Lambda}}}_1 \left[{\xi u_{ml}^{n + 1/2} + (1 - \xi )u_{ml}^{n}}\right],  \\ 
 \frac{{u_{ml}^{n + 1} - u_{ml}^{n + 1/2}}}{\tau} = {{{\Lambda}}}_2 \left[{\xi u_{ml}^{n + 1} + (1 - \xi )u_{ml}^{n + 1/2}}\right]
\end{gather*}

представлен на рисунке.


Рис. 2.4.

Приведем еще одну схему, имеющую второй порядок аппроксимации по \tau и h:

$  \frac{{\tilde {u}_{ml} - u_{ml}^{n}}}{\tau} =  \frac{1}{2}({{{\Lambda}}}_1 \tilde{u}_{ml}+ {{{\Lambda}}}_2 u_{ml}^{n} ), \frac{{u_{ml}^{n + 1} - \tilde{u}_{ml}}}{\tau} = \frac{1}{2}({{{\Lambda}}}_1 \tilde {u}_{ml} + {{{\Lambda}}}_2 u_{ml}^{n + 1} );   $

ее пространственный шаблон:


Рис. 2.5.

Схема Дугласа - Ганна — это общий метод построения неявных разностных схем переменных направлений для трехмерного уравнения теплопроводности, имеющих второй порядок точности и безусловно устойчивых [12.13]:

\begin{gather*}
u^* - u^{n} = \frac{{r_x }}{2}{{{\Lambda}}}_1 \left({u^* + u^{n}}\right) + r_y {{{\Lambda}}}_2 \left({u^{n}}\right) + r_{z}{{\Lambda}}_3 \left({u^{n}}\right), \\ 
u^{**} - u^{n} = \frac{{r_x }}{2}{{\Lambda}}_1 \left({u^* + u^{n}}\right) + \frac{{r_y }}{2}{{\Lambda}}_2 \left({u^{**} + u^{n}}\right) + r_{z}{{\Lambda}}_3  \left({u^{n}}\right), \\ 
u^{n + 1} - u^{n} = \frac{{r_x }}{2}{{\Lambda}}_1  \left({u^* + u^{n}}\right) + \frac{{r_y }}{2}{{\Lambda}}_2  \left({u^{**} + u^{n}}\right) + \frac{{r_{z}}}{2}{{\Lambda}}_3  \left({u^{n + 1} + u^{n}}\right).
\end{gather*}

Верхние индексы * и ** обозначают промежуточные значения, координатные индексы i, j, k опущены во всех членах уравнений, {\mathbf{\Lambda}}_i — компоненты разностного оператора теплопроводности. На каждом шаге метода возникает система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей, решаемая методом прогонки. Схема Дугласа - Ганна безусловно устойчивая. В настоящее время это наиболее удачная из схем расщепления в трехмерном случае.