Применение теории нечетких множеств для обработки данных

Нечеткое подмножество множества характеризуется функцией принадлежности , которая ставит в соответствие каждому элементу число из интервала [0,1], характеризующее степень принадлежности элемента подмножеству . Причем 0 и 1 представляют собой соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента к определенному подмножеству.

Точкой перехода называется элемент множества , для которого .

Если в классической теории множеств понятие характеристического функционала играет второстепенную роль, то для нечетких множеств функция принадлежности становится единственно возможным средством их описания. С формальной точки зрения нет необходимости различать нечеткое множество и его функцию принадлежности. В этом смысле теория нечетких множеств (ТНМ) можно рассматривать как теорию функций специального вида - обобщенных характеристических функций [10] .

Пусть - универсальное множество, - элемент , а - определенное свойство. Обычное (четкое) подмножество универсального множества , элементы которого удовлетворяют свойство , определяется как множество упорядоченной пары , где - характеристическая функция, принимающая значение 1, когда x удовлетворяет свойство , и 0 - в другом случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов из нет однозначного ответа "нет" относительно свойства . В связи с этим, нечеткое подмножество универсального множества определяется как множество упорядоченной пары где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значение в некотором упорядоченном множестве (например, ).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента к подмножеству . Множество называют множеством принадлежностей. Если , тогда нечеткое подмножество может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Пусть и - нечеткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей

Величина называется высотою нечеткого множества . Нечеткое множество является нормальным, если его высота равняется 1, то есть верхняя граница ее функции принадлежности равняется 1 . При нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество является пустым, если для каждого . Непустое субнормальное множество можно нормализировать по формуле

( 12.4)

Нечеткое множество является унимодальным, если лишь для одного из .

Носителем нечеткого множества является обычное подмножество со свойством , то есть носитель для каждого .

Элементы , для которых называются точками перехода множества .

Как считают авторы [11,7,9] для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение , на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы . Если по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами [14].

Пусть нечеткий интервал между 5 до 8 и нечеткое число около 4 (см.Рисунок 12. 1).

Рис. 12.1. Нечеткие числа А и В

Проиллюстрируем нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (см. Рисунок 12. 2).

Рис. 12.2. Операция AND между нечеткими множествами А и В

Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем рисунке (см. Рисунок 12.3).

Рис. 12.3. Операция ИЛИ между нечеткими множествами А и В

Следующий рисунок иллюстрирует операцию отрицания нечеткого множества A (см.Рисунок 12.4).

Рис. 12.4. Операция Отрицания нечеткого множества А.

На следующем рисунке закрашенная часть соответствует нечеткому множеству A и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A (см. Рисунок 12. 5).

Рис. 12.5. Область значений А и всех нечетких множеств с А

Остальные рисунки изображают соответственно (см. рисунок 12.6.

Рис. 12.6. Свойства операций с A