Символы и строки

Рекурсивные методы сортировки за время порядка O(n*log2(n))

Большинство эффективных методов сортировки описываются в виде рекурсивных алгоритмов и реализуются как рекурсивные процедуры. Хотя реализация рекурсивных процедур требует от разработчиков трансляторов использования стековой памяти, но эта техника сегодня настолько отработана, что потери на организацию рекурсии становятся незначительными в сравнении с теми преимуществами, которые дают рекурсивные алгоритмы. Для небольших массивов, конечно, квадратичные алгоритмы требуют меньше времени, но чем больше размер массива, тем эффективнее становится применение рекурсивных методов.

Сортировка за линейное время

За линейное время можно сортировать только массивы, на элементы которых наложены дополнительные ограничения: например, элементы принадлежат фиксированному числу видов.

Задача "Красные и белые"

В этой задаче элементы массива принадлежат двум видам - они либо красные, либо белые. Отсортировать такой массив можно за линейное время, более того, за один проход по массиву, выполняя не более одной проверки и одного обмена для каждого элемента массива. Задача разбиения массива на два подмножества в той или иной формулировке часто встречается в практике программирования. В частности, она возникает в алгоритме быстрой сортировки Хоара.

Все множество индексов элементов массива разделим на три непересекающихся подмножества: 0 - зона, содержащая только белые элементы; непроверенная зона для тех элементов, чей цвет не установлен; 1- зона для красных элементов. Инвариантом, поддерживаемым в проектируемом алгоритме, будет расположение зон. Массив отсортирован, когда непроверенная зона становится пустой. В этом идея алгоритма - поддерживать истинность инварианта, сокращая непроверенную зону. В начальном состоянии 0-зона и 1-зона пусты, а непроверенная зона занимает все множество индексов, так что ее начальная граница Start = 0, а граница Finish = n-1. В начальном состоянии инвариант считается истинным. Основной и единственный проход по циклу выполняется по непроверенной зоне до тех пор, пока эта зона не станет пустой (или не будет состоять из одного элемента). Проверка элементов начинается с левого конца непроверенной зоны. До тех пор, пока очередной элемент является белым, расширяется 0-зона и соответственно сокращается непроверенная зона - значение границы Start увеличивается на 1. В тот момент, когда встречается красный элемент, проверка прекращается и запускается аналогичный цикл, но теперь уже с правого конца непроверенной зоны. Когда на правом конце обнаруживается белый элемент, происходит обмен значениями на двух концах непроверенной зоны. Обмен восстанавливает истинность инварианта. По завершении цикла непроверенная зона становится пустой, так что 1-зона с красными элементами следует сразу за 0-зоной с белыми элементами и массив отсортирован.

Задача Дейкстры "О голландском национальном флаге"

Эдсгар Дейкстра рассматривал эту задачу в своей известной книге по структурному программированию. Элементы в массиве принадлежат трем видам - красные, белые и синие. Требуется отсортировать массив в порядке следования этих цветов во флаге Голландии. Поскольку цвета флагов России и Голландии совпадают, то для нас приятнее сортировать массив в порядке следования этих цветов во флаге России - белые, синие, красные элементы.

Алгоритм сортировки за один проход по массиву нетрудно получить обобщением предыдущего алгоритма. Рассмотрим массив, состоящий из четырех зон: 0-зоны, содержащей только белые элементы, 1-зоны с синими элементами, непроверенной зоны и 2-зоны с красными элементами. Инвариантом, поддерживаемым в алгоритме, является расположение зон. В начальный момент все зоны, кроме непроверенной, пусты и инвариант считается истинным. Внешний цикл по-прежнему идет по элементам непроверенной зоны, продвигаясь попеременно то слева, то справа. При движении слева, пока встречаются синие элементы, расширяется синяя зона. Если встретился не синий элемент, то он может быть либо белым, либо красным. Если это белый элемент, то он меняется местами с первым элементом, начинающим синюю зону. После чего проверка продолжается с левого конца непроверенной зоны. Когда же встречается красный элемент, то непроверенная зона начинает проверяться с правого конца. Когда при проверке справа встречается не красный элемент, то происходит обмен с красным элементом, найденным при проверке слева. Если справа был обнаружен белый элемент, то понадобится еще один обмен, чтобы поставить его на свое место.

Все операции поддерживают истинность инварианта. Когда цикл завершается и непроверенная зона становится пустой, массив отсортирован.

Задача Гарри Поттера "Сортировочная шляпа"

Задачи, где в массиве 4 вида элементов, встречаются не менее часто. Например, молекула ДНК, как уже упоминалось, представляется строкой (массивом char) в алфавите из четырех символов. Этот массив иногда требуется отсортировать в некотором заданном порядке следования символов. Приведу следующую содержательную постановку этой задачи.

В школу чародейства и волшебства Хогвартс прибыли новые ученики числом N. Их посадили за один стол в произвольном порядке. Сортирующая шляпа рассортировала учеников и рассадила их по своим классам - слева направо: Гриффиндор, Рэйвенкло, Хаффлпафф, Слизерин.

В процессе сортировки сортирующая шляпа каждый раз выбирала одного из учеников (каждый выбирался только один раз) и определяла класс, к которому должен принадлежать данный ученик, после чего под руководством сортирующей шляпы при необходимости выполнялся один или несколько обменов местами учеников.

Сортирующая шляпа пользовалась эффективным алгоритмом сортировки, являющимся обобщением алгоритма Дейкстры. Случай 4-х элементов восстанавливает симметрию расположения зон - по две зоны справа и слева от непроверенной зоны. В этом случае анализ на левом и правом конце непроверенной зоны выполняется одинаковым образом.

Сортировка массивов с элементами m типов

Приведенные выше алгоритмы сортировки описаны в предположении, что методу сортировки заранее известны и тип сортируемых элементов, и их возможные значения. Давайте рассмотрим, как может выглядеть метод сортировки, позволяющий сортировать элементы произвольных типов, возможные значения которых заранее неизвестны, но передаются методу сортировки в момент вызова в качестве одного из аргументов. Начну с рассмотрения частного случая, когда в массиве элементы двух видов. Главная цель примера не столько в том, чтобы продемонстрировать сам алгоритм - он достаточно прост, а в том, чтобы показать, как на C# написать универсальный алгоритм для элементов любого типа и с разными названиями видов. Хочется, чтобы алгоритм можно было использовать для классификации элементов 0 и 1, "мужчин" и "женщин", "красных" и "белых".

Добавим в класс SortService универсальный метод сортировки массивов с двумя видами элементов. Вот текст этого метода сортировки:

/// <summary>
/// Сортировать массив, 
/// Предусловие: Элементы массива принадлежат двум видам,
/// заданным в массиве Spacimen
/// </summary>
/// <param name="ar">сортируемый массив</param>
/// <param name="Spacimen">массив представителей</param>
public static void SortTwoKinds(T[] ar, T[] Spacimen)
{
   int start = 0, finish = ar.Length - 1;
   T val1 = Spacimen[0], val2 = Spacimen[1];
   while (start < finish)
   {
        while ((start < finish) && (ar[start].CompareTo(val1) == 0))
           start++;
        while ((start < finish) && (ar[finish].CompareTo(val2) == 0))
           finish--;
        //обмен
        T temp = ar[start]; ar[start] = ar[finish];
        ar[finish] = temp;
        start++; finish--;
    }
}

Тот факт, что элементы сортируемого массива могут быть экземплярами произвольного класса T, обеспечивается тем, что класс SortService является универсальным классом с параметром T. Тот факт, что виды элементов могут иметь произвольные значения, обеспечивается тем, что методу сортировки передается массив Spacimen, хранящий представителей массива - возможные значения элементов массива.

Покажем теперь, как клиентский класс может вызывать метод сортировки в конкретной ситуации:

public void TestSortRedAndWhite()
  {
      //Два вида элементов 
      int m = 2;
      string[] cand = new string[m];
      cand[0] = "red"; cand[1] = "white";
      //Моделирование массива ar
      Random rnd = new Random();
      const int n = 10;
      string[] ar = new string[n];
      for (int ind, i = 0; i < n; i++)
      {
    ind = rnd.Next(0, m);
    ar[i] = cand[ind];
      }
      Console.WriteLine("Массив до сортировки!");
      for (int i = 0; i < n; i++)
      Console.Write(ar[i] + " ");
      Console.WriteLine();
      //Сортировка массива ar   
      SortService<string>.SortTwoKinds(ar,cand);
      Console.WriteLine("Массив после сортировки!");
      for (int i = 0; i < n; i++)
      Console.Write(ar[i] + " ");
      Console.WriteLine();
  }

Рассмотренный алгоритм вряд ли целесообразно обобщать на случай, когда число видов более четырех. Тем не менее, можно построить эффективный алгоритм, когда число видов m известно и оно заведомо меньше n - числа элементов в массиве. В этом случае можно построить алгоритм сортировки, работающий за время . Идея алгоритма достаточно прозрачна. За один проход по сортируемому массиву посчитаем, сколько элементов каждого вида находится в массиве. Для хранения этой информации потребуется дополнительный массив Counts размерности m, элемент которого Counts[i] задает число элементов вида Spacimen[i] в сортируемом массиве. Используя этот массив и массив Spacimen, можно за время O(n) заполнить сортируемый массив элементами, следующими в нужном порядке. Основное время алгоритма уходит на формирование массива Counts, поскольку для каждого элемента нужно определить, какому виду он принадлежит, что требует проведения поиска в массиве Spacimen. Для поиска можно использовать метод SearchBarrier, на что уйдет время порядка O(m). Время можно сократить до , если использовать бинарный поиск, предварительно отсортировав массив Spacimen. Заметьте, на сортировку и хранение отсортированного массива понадобится дополнительное время порядка и дополнительная память. Когда число видов m сравнимо по порядку с числом элементов n, алгоритм становится эквивалентным по сложности классическим алгоритмам сортировки.

Сортировка черпаками

Если в процессе сортировки нужно хранить не только ключи, но и связанную с ними информацию, например, указатели на объекты, то нельзя обойтись подсчетом числа элементов одного вида, поскольку для каждого из элементов нужно сохранять связанную с ним информацию. В этом случае для каждого вида элементов нужно иметь свой "черпак" - массив, хранящий элементы данного вида. Алгоритм сортировки, как и в вышеописанном случае, состоит из двух этапов. На первом - заполняются черпаки, на втором - данные из черпаков сливаются в общий массив.

До сих пор разбиение элементов массива на виды осуществлялось с помощью представителей - к одному виду относились элементы с одним и тем же значением. Общий способ классификации состоит в задании классифицирующей функции - int Classification(int m, T item), которая для каждого элемента item возвращает число, задающее его вид. Аргумент m этой функции указывает максимальное число видов для этой функции классификации. Обычно предполагается, что значение, возвращаемое функцией, является целым числом в диапазоне [0, m-1], задавая номер вида. Примером такой функции классификации (оракула) является сортировочная шляпа из задачи Гарри Поттера, которая умеет по некоторым признакам ученика определить, к какому классу он должен принадлежать.

Задачи

• 65. Создайте Windows-проект для задачи "Красные и белые".
• 66. Создайте Windows-проект для задачи Э. Дейкстры.
• 67. Создайте Windows-проект для задачи "Сортировочная шляпа".
• 68. Создайте Windows-проект для сортировки за линейное время массивов типа string, элементы которого могут принимать одно из трех значений, заданных в массиве представителей.
• 69. Создайте Windows-проект для сортировки за линейное время массивов типа string, элементы которого могут принадлежать одному из трех видов. Вид элемента определяется функцией классификации, передаваемой методу сортировки в качестве параметра.
• 70. Создайте Windows-проект для сортировки за линейное время массивов типа string, элементы которого могут принимать одно из четырех значений, заданных в массиве представителей.
• 71. Создайте Windows-проект для сортировки за линейное время массивов типа string, элементы которого могут принадлежать одному из четырех видов. Вид элемента определяется функцией классификации, передаваемой методу сортировки в качестве параметра.
• 72. Создайте Windows-проект для сортировки за линейное время массивов типа string, элементы которого могут принимать одно из m значений, заданных в массиве представителей.
• 73. Создайте Windows-проект для сортировки за линейное время массивов типа string, элементы которого могут принадлежать одному из m видов. Вид элемента определяется функцией классификации, передаваемой методу сортировки в качестве параметра.
• 74. Создайте DLL с классом, содержащим универсальную (с параметром типа T) процедуру SortTwoKinds - процедуру сортировки массива типа T, содержащего элементы двух видов. Алгоритм должен выполняться за время порядка O(n), где n - число элементов массива. Виды элементов задаются массивом представителей. Создайте Windows-проект, поддерживающий работу с этой DLL.
• 75. Создайте DLL с классом, содержащим универсальную (с параметром типа T) процедуру SortTwoKinds - процедуру сортировки массива типа T, содержащего элементы двух видов. Алгоритм должен выполняться за время порядка O(n), где n - число элементов массива. Деление элементов на два вида задается соответствующей функцией классификации, передаваемой процедуре сортировки в качестве параметра. Создайте Windows-проект, поддерживающий работу с этой DLL.
• 76. Создайте DLL с классом, содержащим универсальную (с параметром типа T) процедуру SortThreeKinds - процедуру сортировки массива типа T, содержащего элементы трех видов. Алгоритм должен выполняться за время порядка O(n), где n - число элементов массива. Виды элементов задаются массивом представителей. Создайте Windows-проект, поддерживающий работу с этой DLL.
• 77. Создайте DLL с классом, содержащим универсальную (с параметром типа T) процедуру SortThreeKinds - процедуру сортировки массива типа T, содержащего элементы трех видов. Алгоритм должен выполняться за время порядка O(n), где n - число элементов массива. Деление элементов на два вида задается соответствующей функцией классификации, передаваемой процедуре сортировки в качестве параметра. Создайте Windows-проект, поддерживающий работу с этой DLL.
• 78. Создайте DLL с классом, содержащим универсальную (с параметром типа T) процедуру SortFourKinds - процедуру сортировки массива типа T, содержащего элементы четырех видов. Алгоритм должен выполняться за время порядка O(n), где n - число элементов массива. Виды элементов задаются массивом представителей. Создайте Windows-проект, поддерживающий работу с этой DLL.
• 79. Создайте DLL с классом, содержащим универсальную (с параметром типа T) процедуру SortFourKinds - процедуру сортировки массива типа T, содержащего элементы четырех видов. Алгоритм должен выполняться за время порядка O(n), где n - число элементов массива. Деление элементов на два вида задается соответствующей функцией классификации, передаваемой процедуре сортировки в качестве параметра. Создайте Windows-проект, поддерживающий работу с этой DLL.
• 80. Создайте DLL с классом, содержащим универсальную (с параметром типа T) процедуру SortMKinds - процедуру сортировки массива типа T, содержащего элементы m видов. Виды элементов задаются массивом представителей. Создайте Windows-проект, поддерживающий работу с этой DLL.
• 81. Создайте DLL с классом, содержащим универсальную (с параметром типа T) процедуру SortMKinds - процедуру сортировки массива типа T, содержащего элементы m видов. Деление элементов на два вида задается соответствующей функцией классификации, передаваемой процедуре сортировки в качестве параметра. Создайте Windows-проект, поддерживающий работу с этой DLL.

Проекты

• 82. На основе рассмотренного в этом разделе класса SortService постройте собственный класс, включающий различные методы сортировки для разных значений числа видов m. Постройте Windows-интерфейс, позволяющий клиентам класса вызывать его методы для массивов разных типов.
• 83. Постройте проект, позволяющий сравнивать время, затрачиваемое компьютером на сортировку массива, когда применяются методы универсального класса SortService<T> и аналогичные методы, написанные для конкретного типа данных. Цель проекта - анализ возможных потерь эффективности, как плата за универсальный характер методов сортировки.
• 84. Постройте проект, позволяющий сравнивать время, затрачиваемое компьютером на сортировку массива с элементами двух, трех, четырех и m видов, при использовании методов класса SortService и метода быстрой сортировки Хоара, встроенной в библиотеку FCL.