Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 12045 / 2526 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 10:

Комбинаторика и числовые системы

< Лекция 9 || Лекция 10: 12 || Лекция 11 >

Рассмотрим некоторые общие методы вычисления конечных сумм.

Самым простым прагматическим методом является поиск нужной суммы в справочниках "Сумм и интегралов" (человеческим опытом и знаниями нельзя пренебрегать!). Многие часто используемые суммы кем-то наверняка уже давно вычислены и предлагаются в этих справочниках.

Пример. Важные суммы из, например, известного справочника Двайта "Таблица сумм и интегралов":

\sum\limits^n_{k=1} k^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}, \\
  \sum\limits^n_{k=1} k^3 = \frac {n^2(n+1)^2} 4, \\
  \sum\limits^n_{k=0} (-1)^k \frac {1}{2k+1} = \frac {\pi}{4}, \\
  \sum\limits^n_{k=1} \frac {1}{k^2} = \frac {\pi^2}{6}.

Второй распространенный метод - угадывание закономерностей в суммируемых числах, вывод общей формулы для всех членов последовательности и затем - формулы для суммы, с последующим доказательством методом математической индукции справедливости этой формулы. Вышеприведенный пример мог бы служить иллюстрацией такого подхода, если бы мы доказали полученную формулу математической индукцией (предлагается выполнить эту несложную процедуру читателю), которая, собственно говоря, и была придумана для обоснования априорных предположений.

Третий метод можно назвать методом подбора подходящей рекуррентной зависимости. Он базируется на следующей теореме.

Теорема. Если для суммы вида

S_n= \sum^n_{k=1}x_k
можно найти функцию F(k), для которой при любом k выполнено рекуррентное равенство xk=F(k+1)-F(k), то данную сумму можно вычислить по формуле: Sn=F(n+1)-F(1).

Пример. Вычислим сумму вида

\sum^n_{k=1} \frac {1}{k(k+1)}.
Здесь x_k=\frac {1}{k(k+1)} и, как легко это проверить, справедливо равенство
x_k = \frac 1k - \frac {1}{k+1}.
Поэтому имеем равенство F(k)=-\frac {1}{k} для всех натуральных значений k. Тогда можно записать равенство вида
\sum^n_{k=1} \frac {1}{k(k+1)} = \frac {n}{n+1}.

Сумма

S_n= \sum^n_{k=1} x_k
эквивалентна рекуррентности
S_0=x_0, \ \ S_n=S_{n-1}+x_n,\quad  n>0,
а эта связь помогает эффективно вычислять суммы.

Есть и другие, достаточно сложные методы суммирования.

Аналогично знаку суммы вводится и знак произведения:

P_n=\prod\limits^n_{k=1}x_k =x_1x_2 \cdots x_n .

Пример. Факториал числа n>0 можно записать в виде

n!=\prod^n_{k=1} k.
Для n=0 условно полагают 0!=1. Он совпадает с 1!.

В математике часто используют ряд чисел, имеющих собственные имена в силу их исключительной важности. Примером такого числа является рассмотренное выше натуральное число (число Непера) e. Число \pi можно также отнести к таким числам. Рассмотрим некоторые другие важные числа.

Числа Мерсенна - числа вида Mn=2n-1. Если n - не простое (например, кратно m, то есть n=km ), то эти числа - всегда не простые, так как в этом случае имеет место разложение (2km-1)=(2m-1)(2m(k-1)+2m(k-1)+ ...+1). Эти числа не всегда простые и в том случае, когда n - простое число.

Числа Ферма имеют вид: F_n=2^{2^n}+1 и предполагались самим Ферма (кстати, в письме к Мерсенну) простыми (n\ge 0), но затем было доказано, что F5=4294967297 - не простое и делится, например, на 641.

Числа Паскаля или треугольник Паскаля (проявление красоты и симметрии математических объектов):

\begin{matrix}
 n &C_n^0&C_n^1&C_n^2&C_n^3&C_n^4&C_n^5&C_n^6&C_n^7&C_n^8&C_n^9&C_n^{10} \cr
 0 & 1 &   &    &    &    &   &    &    &   &    &   \cr
 1 & 1 & 1 &    &    &    &   &    &    &   &    &   \cr
 2 & 1 & 2 & 1  &    &    &   &    &    &   &    &   \cr
 3 & 1 & 3 & 3  & 1  &    &   &    &    &   &    &   \cr
 4 & 1 & 4 & 6  & 4  & 1  &   &    &    &   &    &   \cr
 5 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5  & 1 &    &    &   &    &   \cr
 6 & 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1  &    &   &    &   \cr
 7 & 1 & 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7 &  1 &   &    &   \cr
 8 & 1 & 8 & 28 & 56 & 70 & 56 & 28&  8 & 1 &    &   \cr
 9 & 1 & 9 & 36 & 84 & 126& 126& 84& 36 & 9 &  1 &   \cr
 10& 1 & 10& 45 & 120& 210& 252&210&120 &45 & 10 & 1 \cr
 \end{matrix}

Числа Эйлера \langle C^m_n\rangle (треугольник Эйлера), связывают обычные степени с биномиальными коэффициентами и удовлетворяют соотношениям:

x^n =\sum\limits^n_{k=0} \langle C^k_n\rangle C^n_{x+k} , \quad n\ge 0, \\[3pt]
   \langle C^k_n\rangle =(k+1) \langle C^k_{n-1}\rangle + (n-k)
   C^{k-1}_{n-1}, \quad \langle C^0_0\rangle =1.
Эти числа можно записать в виде, аналогичном треугольнику Паскаля:
\begin{matrix}
n & \kern-1pt\langle C_n^0\rangle\kern-1pt & \langle C_n^1\rangle
& \langle C_n^2\rangle & \langle C_n^3\rangle & \langle
C_n^4\rangle & \langle C_n^5\rangle &\langle C_n^6\rangle & \langle
C_n^7\rangle& \kern-1pt\langle C_n^8\rangle\kern-1pt &\kern-1pt\langle
C_n^9\rangle\kern-1pt \cr
0 &                    1 &                      &                 
    &                      &                      &               
      &                     &                     &               
      &                     \cr
1 &                    1 & 0                    &                 
    &                      &                      &               
      &                     &                     &               
      &                     \cr
2 &                    1 & 1                    & 0               
    &                      &                      &               
      &                     &                     &               
      &                     \cr
3 &                    1 & 4                    & 1               
    & 0                    &                      &               
      &                     &                     &               
      &                     \cr
4 &                    1 & 11                   & 11              
    & 1                    & 0                    &               
      &                     &                     &               
      &                     \cr
5 &                    1 & 26                   & 66              
    & 26                   & 1                    & 0             
      &                     &                     &               
      &                     \cr
6 &                    1 & 57                   & 302             
    & 302                  & 57                   & 1             
      & 0                   &                     &               
      &                     \cr
7 &                    1 & 120                  & 1191            
    & 2416                 & 1191                 & 120           
      & 1                   & 0                   &               
      &                     \cr
8 &                    1 & 247                  & 4293            
    & 15619                & 15619                & 4293          
      & 247                 & 1                   & 0             
      &                     \cr
9 &                    1 & 502                  & 14608           
    & 88234                & 156190               & 88234         
      & 14608               & 502                 & 1             
      & 0                   \cr
  \end{matrix}

Пример. Из треугольника Эйлера и приведенного выше рекуррентного соотношения получаем, в частности,

x^2=C^2_x =C^2_{x+1}, \\[2pt]
   x^3=C^3_x +4C^3_{x+1} + C^3_{x+2}, \\[2pt]
   x^4 = C^4_x + 11 C^4_{x+1} +11C^4_x + C^4_{x+1} \ \ \text{и т.д.}

В математике (особенно, в ее разделе - "теория чисел") рассматриваются и другие замечательные числа.

Немаловажным побудительным мотивом включения этого пункта у автора был эстетический. Поэтому, если у читателя при чтении этого очень небольшого раздела возник к рассматриваемым числам и аналогичным им интерес и получено удовольствие от красоты и симметрии формул, то цель пункта, по мнению автора, - достигнута.

< Лекция 9 || Лекция 10: 12 || Лекция 11 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....