Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2031 / 583 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00
ISBN: 978-5-9556-0062-8
Специальности: Математик
Лекция 9:

Нормальные формы контекстно-свободных грамматик

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >

8.2. Устранение эпсилон-правил

Теорема 8.2.1. Пусть язык L является контекстно-свободным. Тогда язык L \sminus \{ \varepsilon \} порождается некоторой контекстно-свободной грамматикой без \varepsilon - правил.

Доказательство. Пусть дана контекстно-свободная грамматика G = \lalg N , \Sigma , P , S \ralg, порождающая язык L. Проведем серию преобразований множества P.

Если для каких-то A \in N, B \in N, \alpha \in \ns ^* и \beta \in \ns ^* множество P содержит правила B \tto \alpha A \beta и A \tto \varepsilon, но не содержит правила B \tto \alpha \beta, то добавим это правило в P. Повторяем эту процедуру, пока возможно.

Теперь исключим из множества P все правила вида A \tto \varepsilon. Полученная грамматика порождает язык L \sminus \{ \varepsilon \}.

Пример 8.2.2. Рассмотрим язык L, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; \varepsilon , \\
S \; & {\to} \; aSbS .
\end{align*}
Язык L \sminus \{ \varepsilon \} порождается грамматикой
\begin{align*}
S \; & {\to} \; aSbS , \\
S \; & {\to} \; abS , \\
S \; & {\to} \; aSb , \\
S \; & {\to} \; ab .
\end{align*}

Упражнение 8.2.3. Найти контекстно-свободную грамматику без \varepsilon -правил, эквивалентную грамматике

\begin{align*}
D \; & {\to} \; S c , \\
S \; & {\to} \; S S , \\
S \; & {\to} \; \varepsilon , \\
S \; & {\to} \; a S b .
\end{align*}

8.3. Нормальная форма Хомского

Определение 8.3.1. Грамматика в нормальной форме Хомского ( грамматика в бинарной нормальной форме, квадратичная грамматика, grammar in Chomsky normal form) - контекстно-свободная грамматика \lalg N , \Sigma , P , S \ralg, в которой каждое правило имеет один из следующих трех видов: S \tto \varepsilon, A \tto a, A \tto B C, где A \in N, B \in N \sminus \{ S \}, C \in N \sminus \{ S \}, a \in \Sigma.

Пример 8.3.2. Грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; RR , & A \; & {\to} \; a , \\
S \; & {\to} \; AB , & B \; & {\to} \; RB , \\
R \; & {\to} \; RR , & B \; & {\to} \; b \\
R \; & {\to} \; AB , 
\end{align*}
является грамматикой в нормальной форме Хомского.

Теорема 8.3.3. Каждая контекстно-свободная грамматика эквивалентна некоторой грамматике в нормальной форме Хомского.

Доказательство. Пусть дана контекстно-свободная грамматика G = \lalg N , \Sigma , P , S \ralg. Проведем ряд преобразований этой грамматики так, что порождаемый ею язык остается неизменным.

Если правая часть какого-нибудь правила содержит символ S, то заменим грамматику \lalg N , \Sigma , P , S \ralg на грамматику

\lalg N \cup \{ S_0 \} , \Sigma , P \cup \{ S_0 \tto S \} , S_0 \ralg ,
где S0 - новый символ, не принадлежащий множеству N \cup \Sigma.

Заменим во всех правилах каждый терминальный символ a на новый нетерминальный символ Ta и добавим к множеству P правила T_a \tto a для всех a \in \Sigma.

Устраним правила вида A \tto \alpha, где | \alpha | > 2, заменив каждое из них на ряд более коротких правил (при этом добавляются новые нетерминальные символы).

Теперь устраним все правила вида A \tto \varepsilon, где A не является начальным символом. Это можно сделать так же, как в доказательстве теоремы 8.2.1.

Если для каких-то A \in N, B \in N и \alpha \in \ns ^* множество P содержит правила A \tto B и B \tto \alpha, но не содержит правила A \tto \alpha, то добавим это правило в P. Повторяем эту процедуру, пока возможно. После этого исключим из множества P все правила вида A \tto B.

Пример 8.3.4. Грамматика

\begin{align*}
S \; & {\to} \; \varepsilon , \\
S \; & {\to} \; aUbU , \\
U \; & {\to} \; S , \\
U \; & {\to} \; ba 
\end{align*}
эквивалентна следующей грамматике в нормальной форме Хомского:
\begin{align*}
S_0 \; & {\to} \; \varepsilon , & C \; & {\to} \; BU , \\
S_0 \; & {\to} \; AD , & C \; & {\to} \; b , \\
D \; & {\to} \; UC , & U \; & {\to} \; BA , \\
D \; & {\to} \; BU , & U \; & {\to} \; AD , \\
D \; & {\to} \; b , & A \; & {\to} \; a , \\
& & B \; & {\to} \; b .
\end{align*}

Теорема 8.3.5. Если контекстно-свободный язык не содержит пустого слова, то он порождается некоторой грамматикой, в которой каждое правило имеет один из следующих двух видов: A \tto a, A \tto B C, где A \in N, B \in N \sminus \{ S \}, C \in N \sminus \{ S \}, a \in \Sigma.

Упражнение 8.3.6. Найти контекстно-свободную грамматику в нормальной форме Хомского, эквивалентную грамматике

\begin{align*}
F \; & {\to} \; ab , \\
F \; & {\to} \; a F b , \\
F \; & {\to} \; F F .
\end{align*}

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?

Наталья Алмаева
Наталья Алмаева
Россия
Николай Щербаков
Николай Щербаков
Россия, Москва