Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2002 / 569 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00
ISBN: 978-5-9556-0062-8
Специальности: Математик
Лекция 6:

Регулярные выражения

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >

5.3. Теорема Клини

Определение 5.3.1. Назовем обобщенным конечным автоматом аналог конечного автомата, где переходы помечены не словами, а регулярными выражениями. Метка пути такого автомата - произведение регулярных выражений на переходах данного пути. Слово w допускается обобщенным конечным автоматом, если оно принадлежит языку, задаваемому меткой некоторого успешного пути.

Замечание 5.3.2. Каждый конечный автомат можно преобразовать в обобщенный конечный автомат, допускающий те же слова. Для этого достаточно заменить всюду в метках переходов пустое слово на 1, а каждое непустое слово - на произведение его букв.

Замечание 5.3.3. Если к обобщенному конечному автомату добавить переход с меткой 0, то множество допускаемых этим автоматом слов не изменится.

Пример 5.3.4. Пусть \Sigma = \{ a , b , c \}. Обобщенный конечный автомат \lalg Q , \Sigma , \Delta , I , F \ralg, где Q = {1,2,3}, I = {1,2}, F = {3},

\Delta = \{
\lp 1 , a , 2 \rp ,\
\lp 2 , b^* ba , 2 \rp ,\
\lp 2 , b^* , 3 \rp
\} ,
\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix {
  *=[o][F-]{1}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \ar  "2,1"  _{a}
& 
\\
  *=[o][F-]{2}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \ar  "2,2"  _{b^*}
 \rloop{0,-1} ^{b^*ba}
& *=[o][F=]{3}
}
допускает все слова в алфавите \Sigma, кроме слов, содержащих подслово aa.

Теорема 5.3.5 (теорема Клини). Язык L является регулярным тогда и только тогда, когда он является автоматным.

Доказательство. Пусть e - регулярное выражение. Индукцией по построению e легко показать, что задаваемый им язык является автоматным (см. теорему 3.1.1).

Обратно, пусть язык L распознается некоторым (недетерминированным) конечным автоматом с одним начальным состоянием и одним заключительным состоянием. Существует эквивалентный ему обобщенный конечный автомат \lalg Q , \Sigma , \Delta , \{ q_1 \} , \{ q_2 \} \ralg, где q_1 \neq q_2. Если есть несколько переходов с общим началом и общим концом (такие переходы называются параллельными ), заменим их на один переход, используя операцию +.

Устраним по очереди все состояния, кроме q1 и q2. При устранении состояния q нужно для каждого перехода вида \lp p_1 , f_1 , q \rp, где p_1 \neq q, и для каждого перехода вида \lp q , f_2 , p_2 \rp, где p_2 \neq q, добавить переход \lp p_1 , f_1 g^* f_2 , p_2 \rp, где регулярное выражение g - метка перехода из q в q (если нет перехода из q в q, то надо добавить переход \lp p_1 , f_1 f_2 , p_2 \rp ), и снова всюду заменить параллельные переходы на один переход, используя операцию +.

После устранения всех состояний, кроме q1 и q2, получится обобщенный конечный автомат \lalg \{ q_1 , q_2 \} , \Sigma , \Delta' , \{ q_1 \} , \{ q_2 \}
\ralg, где

\Delta' =
 \{
  \lp q_1 , e_{11} , q_1 \rp ,
  \lp q_1 , e_{12} , q_2 \rp ,
  \lp q_2 , e_{21} , q_1 \rp ,
  \lp q_2 , e_{22} , q_2 \rp
 \} .
\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix {
  *=[o][F-]{q_1}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \rloop{0,1} ^{e_{11}}
 \ar  "1,2" <0.6mm> ^{e_{12}}
& *=[o][F=]{q_2}
 \ar  "1,1" <0.6mm> ^{e_{21}}
 \rloop{0,1} ^{e_{22}}
}
Очевидно, что L = \regval{ e_{11}^* e_{12}
 ( e_{22} \replus e_{21} e_{11}^* e_{12} )^* }.

Пример 5.3.6. Рассмотрим язык, распознаваемый конечным автоматом

M = \lalg \{ q_1 , q_2 , q_3 , q_4 \} , \Sigma , \Delta ,
 \{ q_1 \} , \{ q_2 \} \ralg ,
где \Sigma = \{ a , b , c \} и
\begin{multiline*}
 \Delta = \{
\lp q_1 , a , q_4 \rp ,\
\lp q_2 , cb , q_2 \rp ,\
\lp q_2 , bac , q_4 \rp ,\
\\
\lp q_3 , a , q_1 \rp ,\
\lp q_3 , c , q_2 \rp ,\
\lp q_3 , c , q_4 \rp ,\
\lp q_4 , \varepsilon , q_3 \rp ,\
\lp q_4 , b , q_4 \rp
\} .
\end{multiline*}
\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix {
  *=[o][F-]{q_1}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \ar  "1,2"  ^{a}
& *=[o][F-]{q_4}
 \ar  "2,2" <0.6mm> ^{\varepsilon}
 \rloop{0,1} ^{b}
& *=[o][F=]{q_2}
 \rloop{0,1} ^{cb}
 \ar  "1,2"  _{bac}
\\
  %
& *=[o][F-]{q_3}
 \ar  "1,1"  ^{a}
 \ar  "1,3"  _{c}
 \ar  "1,2" <0.6mm> ^{c}
& 
}
Тот же язык порождается обобщенным конечным автоматом
M_1 \peq \lalg \{ q_1 , q_2 , q_3 , q_4 \} , \Sigma , \Delta_1 ,
 \{ q_1 \} , \{ q_2 \} \ralg ,
где
\begin{multiline*}
 \Delta_1 = \{
\lp q_1 , a , q_4 \rp ,\
\lp q_2 , cb , q_2 \rp ,\
\lp q_2 , bac , q_4 \rp ,\
\\
\lp q_3 , a , q_1 \rp ,\
\lp q_3 , c , q_2 \rp ,\
\lp q_3 , c , q_4 \rp ,\
\lp q_4 , 1 , q_3 \rp ,\
\lp q_4 , b , q_4 \rp
\} .
\end{multiline*}
\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix {
  *=[o][F-]{q_1}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \ar  "1,2"  ^{a}
& *=[o][F-]{q_4}
 \ar  "2,2" <0.6mm> ^{1}
 \rloop{0,1} ^{b}
& *=[o][F=]{q_2}
 \rloop{0,1} ^{cb}
 \ar  "1,2"  _{bac}
\\
  %
& *=[o][F-]{q_3}
 \ar  "1,1"  ^{a}
 \ar  "1,3"  _{c}
 \ar  "1,2" <0.6mm> ^{c}
& 
}
После устранения состояния q3 получается обобщенный конечный автомат
M_2 = \lalg \{ q_1 , q_2 , q_4 \} , \Sigma , \Delta_2 ,
 \{ q_1 \} , \{ q_2 \} \ralg ,
где
\begin{multiline*}
 \Delta_2 = \{
\lp q_1 , a , q_4 \rp ,\
\lp q_2 , cb , q_2 \rp ,\
\lp q_2 , bac , q_4 \rp ,\
\\
\lp q_4 , 1 \redot a , q_1 \rp ,\
\lp q_4 , 1 \redot c , q_2 \rp ,\
\lp q_4 , b \replus 1 \redot c , q_4 \rp
\} .
\end{multiline*}
\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix @=11mm{
  *=[o][F-]{q_1}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \ar  "1,2" <0.6mm> ^{a}
& *=[o][F-]{q_4}
 \ar  "1,1" <0.6mm> ^{1 \cdot a}
 \ar  "1,3" <0.6mm> ^{1 \cdot c}
 \rloop{0,1} ^{b + 1 \cdot c}
& *=[o][F=]{q_2}
 \rloop{0,1} ^{cb}
 \ar  "1,2" <0.6mm> ^{bac}
}
Можно упростить регулярные выражения и получить
\begin{multiline*}
 \Delta_2' = \{
\lp q_1 , a , q_4 \rp ,\
\lp q_2 , cb , q_2 \rp ,\
\lp q_2 , bac , q_4 \rp ,\
\\
\lp q_4 , a , q_1 \rp ,\
\lp q_4 , c , q_2 \rp ,\
\lp q_4 , b \replus c , q_4 \rp
\} .
\end{multiline*}
\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix @=11mm{
  *=[o][F-]{q_1}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \ar  "1,2" <0.6mm> ^{a}
& *=[o][F-]{q_4}
 \ar  "1,1" <0.6mm> ^{a}
 \ar  "1,3" <0.6mm> ^{c}
 \rloop{0,1} ^{b + c}
& *=[o][F=]{q_2}
 \rloop{0,1} ^{cb}
 \ar  "1,2" <0.6mm> ^{bac}
}
После устранения состояния q4 и упрощения регулярных выражений получается обобщенный конечный автомат
M_3 = \lalg \{ q_1 , q_2 \} , \Sigma , \Delta_3 ,
 \{ q_1 \} , \{ q_2 \} \ralg ,
где
\begin{multiline*}
 \Delta_3 = \{
\lp q_1 , a ( b \replus c )^* a , q_1 \rp ,\
\lp q_1 , a ( b \replus c )^* c , q_2 \rp ,\
\\
\lp q_2 , bac ( b \replus c )^* a , q_1 \rp ,\
\lp q_2 , cb \replus bac ( b \replus c )^* c , q_2 \rp
\} .
\end{multiline*}
\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix @=11mm{
  *=[o][F-]{q_1}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \rloop{0,1} ^{a (b+c)^* a}
 \ar  "1,3" <0.6mm> ^{a (b+c)^* c}
& 
& *=[o][F=]{q_2}
 \ar  "1,1" <0.6mm> ^{bac (b+c)^* a}
 \rloop{0,1} ^{cb + bac (b+c)^* c}
}
Следовательно, язык L(M) задается регулярным выражением
\begin{multiline*}
( a ( b \replus c )^* a )^*
 a ( b \replus c )^* c
\redot \\ \redot
( cb \replus bac ( b \replus c )^* c
 \replus
 bac ( b \replus c )^* a
( a ( b \replus c )^* a )^*
 a ( b \replus c )^* c )^* .
\end{multiline*}
Упростив это регулярное выражение, получим
L ( M ) = \regval{
 a ( aa \replus b \replus c \replus c (cb)^* bac)^* c (cb)^* } .

Упражнение 5.3.7. Найти регулярное выражение для языка, порождаемого грамматикой

\begin{align*}
\regl{ S \tto b T }
\regl{ S \tto a U }
\regl{ T \tto c R }
\regl{ T \tto e U }
\regl{ R \tto d T }
\regl{ U \tto \varepsilon }.
\end{align*}

Упражнение 5.3.8. Найти регулярное выражение для языка \{ w \in \{a,b\}^* \mid ( | w |_a - | w |_b ) \Vdots 4 \}

Упражнение 5.3.9. Найти регулярное выражение для языка L_1 \cap L_2 \cap L_3, где L1 = (aaab+c+d)*, L2 = (a*ba*ba*bc+d)*, L3 = ((a+b)*c(a+b)*cd)*

Упражнение 5.3.10 Найти регулярное выражение для дополнения языка (a+b)*bbb(a+b)* в алфавите {a,b}.

Упражнение 5.3.11 Найти регулярное выражение для дополнения языка (ab+ba)*(1+a+b) в алфавите {a,b}.

Упражнение 5.3.12 Найти регулярное выражение для дополнения языка (a+b)*(aab+abaa+abb)(a+b)* в алфавите {a,b}.

Упражнение 5.3.13 Найти регулярное выражение для дополнения языка (aa(ab)*bb(ab)*)* в алфавите {a,b}.

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?

Наталья Алмаева
Наталья Алмаева
Россия
Николай Щербаков
Николай Щербаков
Россия, Москва