НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 13: Квантовый аналог NP: класс BQNP

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 611 / 26 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 10 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Полные задачи.

В классе BQNP, как и в NP, есть полные задачи относительно той же самой полиномиальной сводимости, которую мы рассматривали раньше. Вот простейший пример.

Задача 0. Зададим функцию следующим образом. Пусть — множество троек вида

$(\langle\text{описание квантовой схемы } W\rangle, p_0, p_1),$

где под описанием схемы понимается ее приближенная реализация в стандартном базисе, а $p_1-p_0=\Omega(n^{-\alpha})$ ( $\alpha>0$ ,

— размер описания схемы). Тогда для $z\in Z$

$F(z)=1 & \Longleftrightarrow$ если существует вектор $\ket\xi$ , при действии на который мы получим в первом бите 1 с вероятностью, большей p_1 ;

$F(z)=0 & \Longleftrightarrow$ если для всех $\ket\xi$ вероятность получить в первом бите 1 меньше p_0 .

Полнота задачи 0 очевидна. Все, что требуется для построения сведения, содержится в определении 13.2. Вход войдет в описание схемы вместе со схемой U_n .

Рассмотрим более интересные примеры. Для начала дадим определение квантового аналога 3-КНФ — локального гамильтониана (локальность является аналогом ограниченности числа переменных, входящих в одну дизъюнкцию).

Определение 13.3. Оператор $H\colon\BB^{\otimes n}\to \BB^{\otimes n}$ называется k-локальным гамильтонианом, если он выражается в виде

$H=\sum_{j}^{} H_j[S_j],$

где каждое слагаемое — эрмитов оператор, действующий на множестве q-битов S_j

, $|S_j|\leq k$ , на остальных q-битах он действует тождественно.

При этом выполнено условие нормировки $0\leq H_j\leq 1$ (другими словами, и H_j , и I-H_j — положительно полуопределенные).

Задача 1: локальный гамильтониан. Пусть — множество троек вида

$(\langle\text{описание k-локального гамильтониана } H\rangle, a, b),$

где

, $0\leq a<b$ , $b-a=\Omega(n^{-\alpha})$ , ( $\alpha>0$ ). Тогда для $z\in Z$

$F(z)=1 & \Longleftrightarrow$ если у есть собственное число, не большее ,

$F(z)=0 & \Longleftrightarrow$ если все собственные числа больше .

Утверждение 13.2. Задача локальный гамильтониан принадлежит BQNP.

Доказательство. Опишем вначале основную идею. Мы построим такую схему , которая использует подсказку из пространства, в котором действует , и выдает ответ "да" (значение 1) на подсказке $\ket\eta$ с вероятностью $p=1-r^{-1}\langle \eta|\,H\,|\eta\rangle$ , где — число слагаемых в гамильтониане . Если $\ket\eta$ — собственный вектор, соответствующий собственному числу , то вероятность ответа "да" будет

$p=1-r^{-1}\langle \eta|\,H\,|\eta\rangle\geq1-r^{-1}a,$

а если все собственные числа

больше

, то

$p=1-r^{-1}\langle \eta|\,H\,|\eta\rangle\leq1-r^{-1}b.$

Сперва построим такую схему для одного слагаемого. Пусть это будет $H_j=\sum_{s}^{}\lambda_s\ket{\psi_s}\bra{\psi_s}$ , действующий на множестве q-битов S_j . Поскольку размерность пространства, на котором действует H_j , ограничена константой, мы можем реализовать оператор

$W_j\colon \ket{\psi_s,0}\mapsto \ket{\psi_s}\otimes \left(\sqrt{\lambda_s}\ket0 +\sqrt{1-\lambda_s}\ket1\right),$

который действует на множестве q-битов $S_j\cup\{ \langle\text{ответ}\rangle\}$ , где $\langle\text{ответ}\rangle$ обозначает q-бит, из которого берется результат работы схемы. На остальных q-битах подсказки W_j

действует тождественно.

Вычислим вероятность 1 в бите результата после применения W_j к состоянию $\ket{\eta,0}$ (бит результата установлен в 0 перед началом работы схемы). Пусть $\ket\eta=\sum_{s}^{}y_s\ket{\psi_s}$ — разложение $\ket\eta$ по ортогональной системе собственных векторов H_j . Имеем, по определению вероятности,

$\begin{multiline}\label{localtest} \PP_j(1)=\langle \eta,0|\, W^\dagger_j\bigl(I\otimes\underbrace{\ket1\bra1}_{\scriptstyle \langle\text{ответ}\rangle}\bigr)W_j\,| \eta,0\rangle =\\ =\left(\sum_{s}^{}y^*_s\langle \psi^{\ms}_s,0|\right)\, W^\dagger_j\bigl(I\otimes\underbrace{\ket1\bra1}_{\scriptstyle \langle\text{ответ}\rangle}\bigr)W_j\,\left(\sum_{t}^{} y_t|\psi_t,0\rangle\right) =\\ =\sum_{s,t}^{} \sqrt{1-\lambda_s} y^*_s\sqrt{1-\lambda_t} y_t \langle \psi_s|\psi_t\rangle =\sum_{s}^{}(1-\lambda_s)y^*_sy^{\ms}_s=1-\sum_{s}^{}\lambda_sy^*_sy^{\ms}_s= \\= 1-\langle \eta|\, H\,|\eta\rangle . \end{multiline}$

( 13.6)

Общая схема выбирает случайно и равновероятно номер , после чего применяет оператор W_j . Такое действие можно реализовать измеряющим оператором вида $\sum_{j}^{}\ket{j}\bra{j}\otimes W_j$ , примененным к вектору

$\left(\frac{1}{\sqrt{r}}\sum_{j}^{}\ket{j}\right)\otimes \ket{\eta,0}$

. (Здесь $\ket{j}$ обозначает базисный вектор во вспомогательном

-мерном пространстве.) Проводя вычисления аналогично (13.6), получаем

$\begin{equation}\label{globaltest} \PP(1)=\sum_{j}^{}\dfrac{1}{r} \langle j,\eta,0|\, W^\dagger_j\bigl(I\otimes\underbrace{\ket1\bra1}_{\scriptstyle \langle\text{ответ}\rangle}\bigr)W_j\,| j,\eta,0\rangle &=\sum_{j}^{}\dfrac{1}{r}\PP_j(1)=\\= &1-r^{-1}\langle \eta|\,H\,|\eta\rangle . \end{equation} \vskip-6pt \end{proof}$

( 13.7)

Дальше >>

Авторизоваться

Классические и квантовые вычисления

Квантовый аналог NP: класс BQNP

Полные задачи.

Вопросы и ответы