Классические и квантовые вычисления
[+]
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 611 / 26 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Тема: Алгоритмы и дискретные структуры
Специальности: Программист
Теги: beta, BPP, NP, алгоритмы, алфавит, базис, вычисления, вычислимость, дизъюнкция, игры, квантовые вычисления, КНФ, машина Тьюринга, подгруппа, сложность, собственное число, теория, теория чисел, управляющее устройство, элементы, эффективность
Лекция 13:

Квантовый аналог NP: класс BQNP
A
|
версия для печати
< Лекция 12 || Лекция 13: 12345 || Лекция 14 >
Аннотация: В лекции вводится понятие частично определенных функций, рассматривается доказательство леммы "об усилении вероятностей", дается описание класса BQNP и входящих в него полных задач, приводится определение локального гамильтониана, и кроме того, рассматривается вопрос о том, какое место класс BQNP занимает среди других сложностных классов.
Ключевые слова: NP, булева функция, разрешимость, полином, иерархия классов, машина Тьюринга, базис, условная вероятность, базисными векторами, выпуклая оболочка, КНФ, дизъюнкция, собственное число, собственный вектор, пространство состояний, единичный вектор, вещественное число, BPP

Можно строить квантовые аналоги не только для класса P, но и для других классических сложностных классов. Мы разберем пример квантового аналога класса NP.

Модификация классических определений

Квантовое вычисление, как, впрочем, и вероятностное, наиболее естественно описывать, используя частично определенные функции. Ранее мы обходились без этого понятия, чтобы не усложнять изложение лишними деталями, но теперь оно нам потребуется.

Частично определенная булева функция — это функция

F\colon \cb^n\to \{0,\,1,\, \langle \text{не определено}\rangle}\}.
В этом разделе всюду под булевыми функциями подразумеваются частично определенные булевы функции.

И еще одно замечание по поводу обозначений: мы использовали обозначение P и для класса полиномиально вычислимых функций, и для класса полиномиально разрешимых предикатов; теперь поступим аналогично, используя обозначения P, NP и т.п. для классов частично определенных функций.

P, естественно, обозначает класс полиномиально вычислимых частично определенных функций. Приведем модифицированное определение класса NP.

Определение 13.1. Функция F\colon \cb^*\to \{0,\,1,\, \langle \text{не определено}\rangle}\} принадлежит классу NP, если есть частично определенная функция R\in\P от двух переменных, такая что

F(x)=1 & \Longrightarrow & \exists\, y\:\big((|y|<q(|x|))\wedge(R(x,y)=1)\big),\\ F(x)=0 &>\Longrightarrow & \forall\, y\: \big((|y|<q(|x|))\Rightarrow(R(x,y)=0)\big).
Как и раньше, q(\cdot) — полином.

Что будет, если в определении 13.1 заменить условие R\in\P на условие R\in \BPP? Получится другой, скорее всего, более широкий класс, который можно было бы обозначить BNP. Однако для этого класса есть другое, стандартное, обозначение — MA, указывающее на то, что он входит в иерархию классов, определяемых играми Артура - Мерлина. Об играх, которыми задаются сложностные классы, мы уже говорили в "Иерархия сложностных классов" ; игры Артура - Мерлина отличаются тем, что Артур — вероятностная полиномиальная машина Тьюринга. Порядок букв в обозначении MA указывает на порядок ходов: вначале Мерлин сообщает y, затем Артур проверяет выполнение предиката R(x,y).

Квантовое определение по аналогии.

Определение 13.2. Функция F\colon \cb^*\to \{0,\,1,\, \Undef\} принадлежит классу \BQNP, если существует однородная последовательность квантовых схем полиномиального по n размера, реализующих такие операторы U_n\colon \BB^{\otimes N_n}\to \BB^{\otimes N_n}, что

F_n(x)=1 & \Longrightarrow & \exists\, \ket\xi\: \PP\Bigl(U_n\ket\xi\otimes\ket{x}\otimes\ket{0^{N_n-n-m_n}},\calM\Bigr) \geq p_1,\\ F_n(x)=0 & \Longrightarrow & \forall\, \ket\xi\: \PP\Bigl(U_n\ket\xi\otimes\ket{x}\otimes\ket{0^{N_n-n-m_n}},\calM\Bigr) \leq p_0.

Здесь F_n(\cdot) — ограничение F на слова длины n, \ket\xi\in\BB^{\otimes m_n}, m_n\double=\poly(n), \calM=\ket1\otimes\BB^{\otimes (N_n-1)}, а для p_0 и p_1 должно выполняться условие p_1-p_0=\Omega(n^{-\alpha}), \alpha\geq0.

Вектор \ket\xi выполняет роль подсказки ( y ) из предыдущего определения. Нам удобнее считать его первым аргументом оператора U_n (чтобы можно было в любой момент положить x константой и исключить из обозначений).

Замечание 13.1. В определении кванторы по \ket\xi включают в себя только векторы единичной длины. Аналогичное соглашение будем использовать и далее в этом разделе, вынося нормировочные множители за знак \ket{\:}.

Если вместо чистых состояний \ket\xi рассматривать смешанные, то получается эквивалентное определение: максимум вероятности все равно достигается на чистом состоянии.

По сути происходит все та же игра Мерлина с Артуром, только теперь подчиняющаяся законам квантовой механики. Сообщение Мерлина (состояние \ket\xi ) дает Артуру возможность убедиться в том, что F(x)=1 с вероятностью p_1, если это так. А если F(x)=0, то вероятность, что Мерлину удастся убедить Артура в обратном, не выше p_0 для любого сообщения Мерлина.

Обсудим теперь соотношения между пороговыми вероятностями. Из приведенного в определении 13.2 соотношения следует гораздо более сильное условие на p_0 и p_1.

Дальше >>
< Лекция 12 || Лекция 13: 12345 || Лекция 14 >

Вопросы и ответы

вопросов: 1
Илья Молочков
Илья Молочков
ответить