Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 580 / 9 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Введение 1:

Предисловие

Введение 1: 123 || Лекция 1 >

Материалы данного учебного курса подготовлены с использованием файлов книги "Языки и исчисления", являющейся свободно распространяемой и доступной по адресу http://www.mccme.ru/free-books/. Авторы книги не принимали участия в подготовке этих материалов для курса.

В последние годы интерес к тому, что называется "квантовые компьютеры", необычайно возрос. Идея использования возможностей квантовой механики при организации вычислений выглядит все более привлекательной, начаты экспериментальные работы в этой области.

Однако перспективы физической реализации квантовых компьютеров пока совершенно неясны. Скорее всего, это дело нескольких десятилетий. Основные достижения в этой области носят пока чисто математический характер.

Эта книга предназначена для первоначального знакомства с математической теорией квантовых вычислений. Для удобства читателя вначале дается краткое введение в классическую теорию сложности вычислений. Затем подробно излагаются основы теории квантовых вычислений, включая описание основных известных к настоящему времени эффективных квантовых алгоритмов.

Основу книги составили материалы курса "Классическое и квантовое вычисление", прочитанного А. Шенем (классические вычисления) и А. Китаевым (квантовые вычисления) в Высшем колледже математики Независимого Московского университета в весеннем семестре 1998 г. При подготовке книги также использовались материалы курса Physics 229 - Advanced Mathematical Methods of Physics (Quantum computation), который вели Дж. Прескилл (John Preskill) и А. Китаев (при участии А. Ландала (Andrew Landahl)) в Калифорнийском технологическом институте в 1998-1999 уч. г.

Необходимые для чтения этой книги знания невелики. В сущности, достаточно знания линейной алгебры в объеме стандартного университетского курса, элементарной теории вероятностей, элементарной теории чисел и минимальных представлений о теории алгоритмов (например, иметь навыки практического программирования нетривиальных алгоритмов).

Обозначения

\vee дизъюнкция (логическое ИЛИ)
\wedge конъюнкция (логическое И)
\neg отрицание
\oplus сложение по модулю 2 (а также прямая сумма линейных пространств)
\Longrightarrow импликация (логическое следование)
\Longleftrightarrow логическая эквивалентность
\calA^* множество конечных слов в алфавите \calA
\emptycell пустой символ (пробел) в алфавите машины Тьюринга
\delta(\cdot,\cdot,\cdot) функция переходов машины Тьюринга
L_1\propto L_2 сводимость предикатов по Карпу ( L_1 сводится к L_2 ) ( "Класс NP: сводимость и полнота" )
f(n)=O(g(n)) существует такое число C, что f(n)\leq Cg(n)
f(n)=\Omega(g(n)) существует такое число C, что f(n)\geq Cg(n)
f(n)=\poly(n) то же самое, что f(n)=O(n^{O(1)})
\FF_q конечное поле из q элементов
\ZZ/n\ZZ кольцо вычетов по модулю n
\ZZ_n аддитивная группа кольца \ZZ/n\ZZ
(\ZZ/n\ZZ)^* мультипликативная группа обратимых элементов \ZZ/n\ZZ
E^* ( =\mathop{\rm Hom}(E,U(1)) ) — группа характеров абелевой группы E
\Sp_2(n) симплектическая группа над полем \FF_2 размерности n ( "Классические и квантовые коды" )
\ESp_2(n) расширенная симплектическая группа над полем \FF_2 размерности n ( "Классические и квантовые коды" )
\CC множество комплексных чисел
z^* комплексное сопряжение
U(\calM) группа унитарных операторов на пространстве \calM
\SU(\calM) специальная унитарная группа на пространстве \calM
\SO(\calM) специальная ортогональная группа на евклидовом пространстве \calM
\CC(a,b,\dots) пространство, порожденное векторами a,b,\dots
\calM^* пространство линейных функционалов на пространстве \calM
\calM^{\otimes n} n -я тензорная степень
\LL(\calM) пространство линейных операторов на \calM
\LL(\calN,\calM) пространство линейных отображений из \calN в \calM
\cb классический бит (множество \{0,1\})
\BB квантовый бит (q-бит, пространство \CC^2 )
\bra{\xi} бра-вектор ( "Квантовые вычисления" )
\ket{\xi} кет-вектор ( "Квантовые вычисления" )
\langle\xi|\eta\rangle скалярное произведение
A^\dagger эрмитово сопряженный оператор
\qxor обратимое копирование бита (Controlled NOT) ( "Соотношение между классическим и квантовым вычислением" )
f_\oplus обратимая функция, соответствующая булевой функции f ( "Соотношение между классическим и квантовым вычислением" )
I_\calL тождественный оператор на пространстве \calL
\hat G унитарный оператор, соответствующий перестановке G ( "Соотношение между классическим и квантовым вычислением" )
\Lambda(U) оператор U с квантовым управлением ( "Базисы для квантовых схем" )
\Pi_\calM проектор (оператор проектирования) на подпространство \calM
\sigma(\alpha_1,\beta_1,\dots,\alpha_n,\beta_n) базисные операторы на пространстве \BB^{\otimes n} ( "Классические и квантовые коды" )
A\cdot B преобразование матриц плотности \rho\mapsto A\rho B ( "Классические и квантовые коды" )
U[A] оператор, действующий на квантовый регистр (множество q-битов) A ( "Квантовые вычисления" )
Tr_\calF A частичный след от оператора A по пространству \calF ( "Квантовые вероятности" )
\|\cdot\| норма вектора ( "Базисы для квантовых схем" ) или операторная норма оператора ( "Соотношение между классическим и квантовым вычислением" )
\|\cdot\|_\trr следовая норма ( "Классические и квантовые коды" )
\|\cdot\|_\trn норма для преобразований матриц плотности ( "Классические и квантовые коды" )
|\cdot| мощность множества или модуль числа
\delta_{jk} символ Кронекера
\chi_S(\cdot) характеристическая функция множества S
(x,y) наибольший общий делитель x и y
a\equiv b\pmod{q} сравнение по модулю q
a\bmod{q} остаток по модулю q

представление рационального числа a/b в виде несократимой дроби
\Prob[A] вероятность события A
\PP(\cdot|\cdot) условная вероятность (в различных контекстах)
\PP(\rho,\calM) квантовая вероятность ( "Квантовые вероятности" )

Обозначения матриц:

& & H&=\frac{1}{\sqrt2}\leftp\begin{array}{rr}
			1&1\\1&-1\end{array}\rightp,
			\quad
			K=\leftp\begin{array}{rr} 1&0\\0&i\end{array}\rightp,\\
			\text{матрицы Паули:}& & \sx&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad
			\sy=\leftp\begin{array}{rr}0&-i\\ i&0\end{array}\rightp,\quad
			\sz=\leftp\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\rightp

Обозначения сложностных классов:

Введение 1: 123 || Лекция 1 >
Игорь Хан
Игорь Хан
Узбекистан, Ташкент, Ташкентский педагогический институт иностранных языков, 1990