Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 611 / 26 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Дополнительный материал 1:

Решения задач

< Лекция 14 || Дополнительный материал 1: 12345678910

И, наконец, равенство (7.8) следует из того, что собственные числа оператора (X\otimes Y)^\dagger(X\otimes Y)\double=X^\dagger X\otimes Y^\dagger Y имеют вид \lambda_j\mu_k, где \lambda_j и \mu_kсобственные числа X^\dagger X и Y^\dagger Y, соответственно.

7.3. Достаточно проверить для двух сомножителей. Имеем

\begin{align*} \tilde U_2\tilde U_1\left(\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}\right)= \tilde U_2\left(U_1\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}+\ket{\eta_1}\right)= \\= U_2U_1\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}+\ket{\eta_2}+\tilde U_2\ket{\eta_1}, \end{align*}
где \big\|\ket{\eta_j}\big\|\le\delta_j, ( j=1,2 ). Поэтому
\bigl\|\tilde U_2\tilde U_1\bigl(\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}\bigr)- U_2U_1\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}\bigr\| \le \delta_1+\delta_2.

7.4 Обозначим \calM=\BB^{\otimes n}\otimes\ket{0^{N-n}}. Будем искать оператор в виде W=(U\otimes I_{[n+1,\dots,N]})\Pi_\calM +\tilde W(I-\Pi_\calM), где унитарный оператор \tilde W сохраняет \calM^\perp. Для такого W, очевидно, выполняется равенство

W\left(\ket\xi\otimes\ket{0^{N-n}}\right)= (U\ket\xi)\otimes\ket{0^{N-n}},
а \|W-\tilde U\|\le O(\delta) эквивалентно тому, что для всех \ket\eta\in\calM^\perp выполняется \rlap{\phantom{\raise1.5pt\hbox{\big\|}}} \big\|(\tilde W-\tilde U)\ket\eta\big\|=O(\delta). Представляя \tilde W= X\tilde U, получаем эквивалентные условия на унитарный оператор X:
\|X-I\|=O(\delta),\qquad X\calL^\perp=\calM^\perp,
где \calL=\tilde U\calM.

Теперь нам потребуется следующая лемма.

Лемма. Пусть \calL и \calM — подпространства конечномерного пространства \calN, такие что \|\Pi_\calL-\Pi_\calM\|\leq\delta, \delta<\slashfrac{1}{2}. Тогда найдется унитарный оператор X, такой что \|X-I\|=O(\delta) и X\calL=\calM. (Значит, и X\calL^\perp=\calM^\perp.)

Доказательство. Возьмем оператор Y=\Pi_\calM\Pi_\calL+(I-\Pi_\calM)(I-\Pi_\calL). Сразу видно, что он переводит \calL в \calM и \calL^\perp в \calM^\perp. Для нормы \|Y-I\| имеем оценку

\begin{multiline*} \|Y-I\|=\|\Pi_\calM\Pi_\calL-\Pi_\calM-\Pi_\calL+\Pi_\calM\Pi_\calL\|\leq \\ \leq \|(\Pi_\calM-\Pi_\calL)\Pi_\calL\|+ \|\Pi_\calM(\Pi_\calM-\Pi_\calL)\|\leq 2\delta<1. \end{multiline*}
Оператор Y не унитарный. Но из приведенной оценки следует, что он невырожденный. Рассмотрим унитарный оператор X\double=Y(Y^\dagger Y)^{-1/2}. Оператор Y^\dagger Y сохраняет подпространство \calL, поэтому X переводит \calL в \calM. Для оценки нормы X разложим (Y^\dagger Y)^{-1/2} в ряд Тейлора
(Y^\dagger Y)^{-1/2} =I+\frac{1}{2}Z+\frac{3}{8}Z^2+\dots,\qquad \text{где } Z=I-Y^\dagger Y.
Поэтому \|(Y^\dagger Y)^{-1/2}-I\|\leq (1-\|Z\|)^{-1/2}-1=O(\delta), отсюда получаем \|X-I\|=O(\delta).

Чтобы применить лемму, необходимо оценить величину \|\Pi_\calL-\Pi_\calM\|. Имеем \|(\tilde U-U\otimes I)\Pi_\calM\|\le\delta ( \tilde U приближает U в расширенном смысле с точностью \delta ). Обозначая V=U\otimes I, получаем

\|\Pi_\calL-\Pi_\calM\|= \|\tilde U\Pi_\calM\tilde U^\dagger-V\Pi_\calM V^\dagger\|\le 2\delta.
Итак, условие леммы выполнено (и задача решена) при \delta<1/4.

7.5 Схему для оператора \Lambda(U) можно построить, используя элемент Фредкина F=\Lambda(\leftrightarrow) — управляемый обмен битами. Элемент Фредкина задается соотношениями

F\colon |a,b,c\rangle\,\mapsto \left\{ \begin{array}{ll} |0,b,c\rangle \quad & \mbox{если}\ a=0, \\ |1,c,b\rangle \quad & \mbox{если}\ a=1. \end{array} \right.
Его можно реализовать следующим образом:
F[1,2,3]=\Lambda(\qxor)[1,2,3]\ \Lambda(\qxor)[1,3,2]\ \Lambda(\qxor)[1,2,3]
(заметим, что \Lambda(\qxor)=\Lambda^2(\sigma_x) — это элемент Тоффоли).


Рис. 15.7.

На рис. 15.7 показано, как из схемы для оператора U, сохраняющего \ket0, построить схему для \Lambda(U). В прямоугольниках происходит управляемый обмен q-битами (параллельно действует нужное количество элементов Фредкина). Если управляющий q-бит равен \ket1, то на вход схемы, вычисляющей U, будет подан \ket\xi, в противном случае — \ket0.

7.6 Каждый из рассматриваемых поворотов порождает всюду плотное подмножество в подгруппе поворотов относительно фиксированной прямой. Поэтому осталось доказать, что повороты относительно двух различных прямых порождают \SO(3). Для этого достаточно доказать, что подгруппа, порожденная всеми поворотами относительно двух различных прямых, действует транзитивно на сфере (или на проективной плоскости — множестве одномерных подпространств). Справедливость этого факта очевидна из рис. 15.8 (если можно перемещаться по двум семействам параллелей, то из любой точки на сфере можно попасть в любую другую). Строгое доказательство получается аналогично решению задачи 7.7.


Рис. 15.8.

Замечание. Это решение неконструктивно: нельзя дать никакой верхней оценки на количество поворотов X,X^{-1},Y,Y^{-1}, композиция которых приближает заданный элемент U\in\SO(3) с заданной точностью \delta. Причина неконструктивности состоит в следующем. Поворот на угол 2\pi\alpha, где \alpha — иррациональное, порождает всюду плотное подмножество в группе поворотов относительно фиксированной прямой (эта группа, очевидно, изоморфна \RR/\ZZ ). Однако число \alpha может очень хорошо приближаться рациональными числами (это имеет место, когда коэффициенты цепной дроби, представляющей \alpha, очень быстро растут). Тогда любое r\in\RR/\ZZ приближается элементами вида n\alpha ( n\in\ZZ ) с любой точностью \delta>0, но число n может быть сколь угодно велико: больше, чем любая наперед заданная функция \delta.

Конструктивное доказательство и эффективный (при фиксированных X и Y ) алгоритм построения аппроксимаций довольно сложны [4].

7.7 Обозначим \ket{\xi'}=V^{-1}\ket\xi, тогда H'=V^{-1}HV — стабилизатор \CC(\ket{\xi'}). Так что утверждение задачи приобретает вид: объединение стабилизаторов двух несовпадающих одномерных подпространств порождает U(\calM).

Достаточно показать, что группа G, порожденная H\cup H', действует транзитивно на множестве единичных векторов. Действительно, пусть для каждого \ket\psi\in\calM найдется оператор U_\psi\in G, такой что U_{\psi}\ket\xi=\ket\psi. Тогда

U(\calM)=\bigcup\limits_{\ket\psi\in\calM} U_{\psi} H.

Доказываем транзитивность действия группы G. Заметим, что

\begin{equation*} H\ket\psi&=Q(\vartheta)\bydef\{\ket\eta : |\langle \eta\,|\, \xi \rangle| = \cos\vartheta \}, \\ H'\ket\psi&=Q'(\vartheta')\bydef\{\ket\eta : |\langle \eta\,|\, \xi' \rangle| = \cos\vartheta'\}, \end{equation*}

где \vartheta,\vartheta' обозначают углы между \ket\psi и \ket\xi, \ket\xi' соответственно: \cos\vartheta\double=|\langle \psi\,|\, \xi\rangle|, \cos\vartheta'=|\langle \psi\,|\, \xi'\rangle|, 0\leq \vartheta,\vartheta'\leq\pi/2. В последующих формулах используется также угол \alpha между векторами \ket\xi и \ket\xi': \cos\alpha= |\langle \xi\,|\, \xi'\rangle|,\, 0\leq \alpha\leq\pi/2.

Можно проверить, что при \dim\calM\geq3

\begin{equation*} HQ'(\vartheta')&=\bigcup_{|\alpha-\vartheta'|\leq \vartheta\leq\min(\alpha+\vartheta',\pi/2)} Q(\vartheta),\\ H'Q(\vartheta)&=\bigcup_{|\alpha-\vartheta|\leq \vartheta'\leq\min(\alpha+\vartheta,\pi/2)} Q'(\vartheta'). \end{equation*}
Поэтому
\begin{equation*}  H'\ket\xi &= Q'(\alpha),\\ HH'\ket\xi &= \bigcup_{0\leq\vartheta\leq\min(2\alpha,\pi/2)} Q(\vartheta),\\ H'HH'\ket\xi &= \bigcup_{0\leq\vartheta'\leq\min(3\alpha,\pi/2)} Q'(\vartheta'), \end{equation*}
и т.д. Таким образом, действуя на вектор \ket\xi попеременно элементами из H' и H достаточное количество раз, можно получить любой единичный вектор \ket\psi.

7.8 Поскольку \sx=HK^2H, то стандартный базис содержит полный базис для классических обратимых вычислений (см. задачу 6.1). Это, благодаря задаче 7.5, позволяет реализовать операторы \Lambda(U) для всех элементов базиса, кроме H.

Теперь рассмотрим оператор X=\Lambda(HKH)=H\Lambda(K)H, который, в силу сказанного, реализуется в стандартном базисе (оператор K сохраняет \ket0 ). Подействуем им на \BB^{\otimes2} двумя возможными способами: X_1=X[1,2], X_2=X[2,1]. Операторы Y_1=X_1X_2^{-1}, Y_2=X_2^{-1}X_1 также реализуются в стандартном базисе.

Заметим, что операторы X_1, X_2 (следовательно, и Y_1, Y_2 ) сохраняют векторы \ket{00} и \ket{\eta} =\ket{01}+\ket{10}+\ket{11}. Кроме того, вычислениями проверяется, что Y_1, Y_2 не коммутируют и имеют, помимо 1, собственные числа \lambda_{1,2}=(1\pm\sqrt{-15})/4=e^{\pm i\ph/2}. В \SO(3)\cong U(2)/U(1) оператору с такими собственными числами соответствует поворот на угол \ph. Поскольку \lambda_{1,2} не являются корнями из 1 (и даже целыми алгебраическими числами, так как их след равен 1/2 ), угол \ph несоизмерим с \pi. А поскольку эти операторы не коммутируют, им соответствуют повороты вокруг различных прямых. Поэтому Y_1, Y_2 порождают всюду плотное подмножество в U(\calL)/U(1), где \calL=\CC(\ket{00},\ket{\eta})^\perp (см. задачу 7.6).

Для завершения доказательства дважды применим результат задачи 7.7. Операторы Y_1, Y_2 порождают всюду плотное множество в U(\calL)/U(1), оператор V=\Lambda(K) сохраняет \CC(\ket{00}) и не сохраняет \CC(\ket{\eta}). Так что Y_1, Y_2, V^{-1}Y_1V, V^{-1}Y_2V порождают всюду плотное множество в U\bigl(\calL\oplus\CC(\ket\eta)\bigr)/U(1). Оператор H[1] не сохраняет \CC(\ket{00}) ; применяя результат задачи 7.7 еще раз, получаем всюду плотное множество в U(\BB^{\otimes2})/U(1).

7.9 Из предыдущей задачи следует, что можно реализовать оператор \Lambda(c) с точностью до фазового множителя, \Lambda(c)=e^{i\ph}U. Оператор \sx реализуется точно. Возьмем дополнительный q-бит в состоянии \ket0 и применим \sx U\sx U^{-1}\colon \ket0\mapsto c\ket0. Неизвестный фазовый множитель сокращается.

7.10 В базисе \ket\xi=\frac{1}{\sqrt2}(\ket0+\ket1), \ket\eta=\frac{1}{\sqrt2}(\ket0-\ket1) оператор \sx диагонализуется, так что в этом базисе R имеет вид

R=-i\exp(\pi i\alpha\sx)= -i \begin{pmatrix} e^{\pi i\alpha}&0\\ 0&e^{-\pi i\alpha} \end{pmatrix}\,.
А раз \alphaиррациональное число, степенями R можно приближенно реализовать любой оператор вида i^s\exp(i\phi\sx), который в указанном выше базисе имеет матрицу i^s\begin{pmatrix} z&0\\ 0&z^{-1} \end{pmatrix}, где s=0,1,2,3, |z|=1. В геометрической интерпретации эти операторы соответствуют поворотам вокруг оси x. При s=3 и z=i получаем элемент Тоффоли: \bigl(\Lambda^2(R)\bigr)^k\approx\Lambda^2(\sigma^x) (при подходящем k ), так что уже имеем полный классический базис. При s=1 и z=1 получаем \Lambda^2(i)=\Lambda(K) (на третий q-бит этот оператор действует тождественным образом). Из \Lambda(K) можно сделать K, подавая на управляющий q-бит константу \ket{1}=\sigma^x\ket{0}. С точностью до фазового множителя K — это поворот на 90^\circ вокруг оси z, а композициями поворотов вокруг x и одного поворота вокруг z представляются все элементы \SO(3) (аналогично задаче 7.7).

Итак, мы получили реализацию всех операторов из U(2) с точностью до фазового множителя. Осталось использовать задачу 7.9 для того, чтобы реализовать H.

7.11 Любое вращение трехмерного пространства представляется как композиция трех поворотов: на угол \alpha вокруг оси z, затем на угол \beta вокруг оси x, затем на угол \gamma вокруг оси z. Поэтому любой оператор, действующий на одном q-бите, представляется в виде

U=e^{i\phi}e^{i(\gamma/2)\sz}e^{i(\beta/2)\sx}e^{i(\alpha/2)\sz}. ( *)

Каждый из операторов в правой части (*) выражается через H и управляемые фазовые сдвиги:

\begin{align*} e^{i\phi}&=\Lambda(e^{i\phi})\sx\Lambda(e^{i\phi})\sx, & e^{i\phi\sz}&=\Lambda(e^{-i\phi})\sx\Lambda(e^{i\phi})\sx,\\ \sx&=H\Lambda(e^{i\pi})H, & e^{i\phi\sx}&=He^{i\phi\sz}H. \end{align*}

Таким образом, для решения задачи достаточно построить схему, представляющую управляемый фазовый сдвиг \Lambda(e^{i\theta}) с точностью O(\delta).

Выберем такое q=2^n, что \slashfrac{1}{\delta}\leq q<\slashfrac{2}{\delta}. Предположим, что у нас в распоряжении есть n -битовый регистр в состоянии

\ket{\psi_n(q,k)}=\frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{j=0}^{q-1} \exp\bigl(2\pi i\frac{kj}{q}\bigr)\ket{j}.
Заметим, что \ket{\psi_n(q,k)}собственный вектор классического оператора V\colon\ket{j}\mapsto\ket{(j-1)\bmod q}:
V^l\ket{\psi_n(q,k)} = e^{2\pi i (kl/q)}\ket{\psi_n(q,k)}.
Применяя к \ket{\psi_n(q,k)} оператор V^l, управляемый дополнительным q-битом, получаем искомый фазовый сдвиг на этом q-бите:
\Lambda(V^l)\bigl(\ket\xi\otimes\ket{\psi_n(q,k)}\bigr) = \Lambda(e^{2\pi i (kl/q)})\ket\xi\otimes\ket{\psi_n(q,k)}.

(Классический) оператор \Lambda(V^l) можно задать схемой линейного размера в стандартном базисе. Если k — нечетно, то выбором подходящего l можно представить оператор \Lambda(e^{i\theta}) с точностью \slashfrac{2\pi}{q}=O(\delta).

Вместо того, чтобы строить схему, порождающую \ket{\psi_n(q,k)}, будем брать смесь \ket{\psi_n(q,k)} при разных k, измерять значение k и выбирать l, соответствующее этому измеренному значению. Опишем требуемые действия.

  1. Создаем вектор
    \sz[1] H[1]\ket{0^n}=\ket\eta= \frac{1}{\sqrt2}\ket{0}-\frac{1}{\sqrt2}\ket{q/2}= \frac{1}{\sqrt{q/2}}\sum_{s=0}^{q/2-1}\ket{\psi_n(q,2s+1)}.
    Заметим, что \sz=\Lambda(i)^2=K^2 реализуется точно в стандартном базисе.
  2. Произведем измерение k с вероятностью ошибки \eps\leq\delta^2 ; оно может быть представлено оператором
    W=\sum_{k=0}^{q-1} \ket{\psi_n(q,k)} \bra{\psi_n(q,k)}\otimes W_k,
    где W_k\ket0=\sqrt{1-\eps}\ket{k}\otimes\ket{\mbox{мусор}(k)}+ \sqrt{\eps}\ket{\zeta(k)}, а векторы \ket{\mbox{мусор}(k)} и \ket{\zeta(k)} — единичной длины. Заметим, что точность — квадратный корень из вероятности ошибки:
    \big\|W_k\ket0-\ket{k}\otimes\ket{\mbox{мусор}(k)}\big\|= \sqrt{\left(1-\sqrt{1-\eps}\right)^2+\sqrt{\eps}^2}=O(\delta).
  3. Найдем такое l(k), что |kl(k)/q-\theta/(2\pi)|\leq 1/q.
  4. Применим \Lambda(V^l) к рабочему n -битовому регистру, используя бит, в котором нужно сделать фазовый сдвиг, в качестве управляющего.
  5. Обратим вычисления, сделанные на шагах 1 — 3.

Чтобы вероятность ошибки была меньше \delta^2, нужны O(\log(1/\delta)) элементарных измерений для каждого из операторов V, V^2 ,\dots, V^{2^{n-1}}. Поскольку n=O(\log(1/\delta)), общий размер схемы — O(\log^3(1/\delta)).

< Лекция 14 || Дополнительный материал 1: 12345678910